개념 237 · I-1 지수와 로그
거듭제곱근의 성질
답지나라개념사전 고등수학 | 6가지 계산 법칙 완전 정리
📌 6가지 성질 (조건: a>0, b>0, m·n은 2 이상 정수)
조건: \(a>0,\; b>0\), \(m, n\)은 2 이상의 정수
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①\(\left(^n\!\sqrt{a}\right)^n = a\)n제곱근을 n번 거듭제곱하면 원래 수
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②\(^n\!\sqrt{a}\cdot{}^n\!\sqrt{b} = {}^n\!\sqrt{ab}\)같은 차수끼리 → 근호 안에서 곱셈
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③\(\dfrac{^n\!\sqrt{a}}{^n\!\sqrt{b}} = {}^n\!\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)같은 차수끼리 → 근호 안에서 나눗셈
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④\(\left(^n\!\sqrt{a}\right)^m = {}^n\!\sqrt{a^m}\)지수 m을 근호 안으로
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⑤\(^m\!\sqrt{^n\!\sqrt{a}} = {}^{mn}\!\sqrt{a}\)이중 근호 → 차수끼리 곱하기
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⑥\(^{np}\!\sqrt{a^{mp}} = {}^n\!\sqrt{a^m}\) (p는 양의 정수)지수·차수의 공약수 p로 약분
🎬 개념 영상
📝 계산 예시
① \(\left(\sqrt[3]{2}\right)^3 = 2\)
② \(\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{12}\)
③ \(\dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{2}\)
④ \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^2 = \sqrt[3]{25}\)
⑤ \(\sqrt{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[6]{2}\)
⑥ \(\sqrt[6]{a^4} = \sqrt[3]{a^2}\)
💡 핵심: 문자가 양수일 때 비교적 자유롭게 계산 가능. 음수이면 계산이 곤란한 경우가 많으니 조건 확인 필수!
⚠️ 이선생 주의사항
차수가 다를 때 성질 ②③ 사용 불가!
\(\sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \neq \sqrt[6]{ab}\) — 차수가 같아야만 적용!
\(\sqrt[2]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \neq \sqrt[6]{ab}\) — 차수가 같아야만 적용!
⑤ 이중 근호: 순서 주의!
\(^m\!\sqrt{^n\!\sqrt{a}} = {}^{mn}\!\sqrt{a}\) — 바깥 차수×안 차수
\(^m\!\sqrt{^n\!\sqrt{a}} = {}^{mn}\!\sqrt{a}\) — 바깥 차수×안 차수
💡 성질 ⑥은 분수 지수 변환 시 약분 규칙과 동일. 유리수 지수(개념241)와 연결됩니다.
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