⭐ 핵심만정리

무리함수 y = √a(x-p) + q (단, a ≠ 0) 그래프, 어떻게 하면 쉽게 그릴 수 있을까요? 두 가지 비법을 알려줄게요! ✌️

• 방법 1: 평행이동 이용하기!
  1. 기본형 y = √ax 그래프를 먼저 그려요.
  2. 이 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동하면 끝!
• 방법 2: 정의역, 치역 이용하기! (시작점과 방향으로 그리기)
  1. 시작점 찾기: 그래프가 시작하는 점 (p, q)를 찾아요.
  2. 정의역과 치역으로 방향 결정:
     • a > 0이면 x ≥ p, y ≥ q (루트 앞 부호 +일 때) → 오른쪽 위로!
     • a < 0이면 x ≤ p, y ≥ q (루트 앞 부호 +일 때) → 왼쪽 위로!
     • (루트 앞 부호가 -이면 y 방향이 반대가 돼요!)
  3. 추가 점 찾기: x절편, y절편 또는 계산하기 쉬운 다른 한 점을 찾아 찍으면 더 정확하게 그릴 수 있어요.

이 두 가지 방법 중 자신에게 더 편한 방법을 사용하거나, 두 가지를 함께 활용하면 무리함수 그래프도 자신 있게 그릴 수 있을 거예요! 😄

📚 개념정리

안녕, 그래프 탐험가 친구들! 🧐 오늘은 무리함수 y = √a(x-p) + q (단, a ≠ 0) 그래프를 좀 더 쉽고 체계적으로 그리는 두 가지 방법에 대해 자세히 알아볼 거예요. 어떤 방법이 나에게 맞는지 생각해보면서 함께 따라와 주세요! 😉

방법 1: 평행이동을 이용한 그래프 그리기 🚶➡️

이 방법은 기본형 그래프를 그린 후, 그것을 이동시키는 방식이에요.

1. 1단계: 기본형 y = √ax 그래프 그리기
   먼저 a의 부호에 맞춰서 y = √ax 그래프의 개형을 그려요. (개념 223 참고!)
2. 2단계: x축, y축으로 평행이동하기
   1단계에서 그린 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 그대로 옮겨주면 y = √a(x-p) + q 그래프가 완성돼요! 시작점이었던 원점(0,0)이 점 (p,q)로 이동하는 것을 기준으로 삼으면 편하답니다.

방법 2: 정의역과 치역을 이용한 그래프 그리기 (시작점과 방향으로!) 📍🧭

이 방법은 그래프의 시작점과 뻗어 나가는 방향을 먼저 파악해서 그리는 방식이에요. 무리함수 그래프는 정의역과 치역에 의해 그래프가 그려지는 영역이 4개의 구역 중 하나로 정해지고, 그 모양도 한 가지로 정해지거든요!

1. 1단계: 정의역과 치역 찾기 (시작점과 방향 파악!)
   먼저 함수식 y = √a(x-p) + q에서 그래프의 시작점인 (p, q)를 찾아요. 그리고 a의 부호와 루트 앞의 부호를 보고 정의역과 치역을 구하면서 그래프가 어느 방향으로 뻗어 나갈지 예측해요.
   • 루트 안 a(x-p) ≥ 0 조건과 루트 앞 부호로 정의역과 치역을 구해요. (개념 224 참고!)
   • 예를 들어, y = √a(x-p) + q에서:
     • a > 0 이면: x ≥ p (오른쪽), y ≥ q (위쪽) ➡️ 오른쪽 위로!
     • a < 0 이면: x ≤ p (왼쪽), y ≥ q (위쪽) ➡️ 왼쪽 위로!
   • 만약 y = -√a(x-p) + q 라면 y ≤ q가 되어 아래쪽으로 향하겠죠!
2. 2단계: 그래프가 지나는 다른 한 점 찾기 (선택 사항이지만 유용!)
   시작점과 방향만 알아도 대략적인 개형은 그릴 수 있지만, 좀 더 정확한 그래프를 원한다면 x절편(y=0일 때 x값), y절편(x=0일 때 y값), 또는 계산하기 쉬운 다른 한 점의 좌표를 구해서 그래프 위에 표시해주면 좋아요.
3. 3단계: 부드럽게 연결하기
   시작점과 찾은 점을 바탕으로, 예측한 방향으로 부드러운 곡선을 그려주면 완성!

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✅ 개념확인

앞선 개념(224)에서 y = √-(x-1) – 3 그래프를 그리는 문제를 풀어보았죠? 그 문제를 다시 한번 떠올리며, 오늘 배운 두 가지 방법 중 어떤 방법이 자신에게 더 잘 맞는지 생각해보는 것도 좋은 연습이 될 거예요!

예를 들어, y = √-(x-1) – 3은

• 평행이동 관점: y = √(-x) 그래프를 x축으로 1만큼, y축으로 -3만큼 평행이동한 것.
• 시작점/방향 관점: 시작점 (1, -3). a = -1 < 0, 루트 앞 부호 +이므로 왼쪽 위로 향함.
  • 정의역: -(x-1) \ge 0 \Rightarrow x-1 \le 0 \Rightarrow x \le 1
  • 치역: √{-(x-1)} \ge 0 \Rightarrow √{-(x-1)} – 3 \ge -3 \Rightarrow y \ge -3

두 가지 방법 모두 같은 결과를 준다는 것을 알 수 있죠? 편한 방법을 선택해서 그래프 그리기에 자신감을 가져보세요! 😊

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💡 참고