⭐ 핵심만정리

무리함수 y = √a(x-p) + q (단, a ≠ 0) 그래프, 이것만 기억하면 쉬워요! 🗺️

• 기본형과의 관계: 이 그래프는 기본형 무리함수 y = √ax의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 것이에요!
• 새로운 시작점 (꼭짓점): 기본형의 시작점이었던 원점(0,0)이 (p, q)로 이동해요. 이 점이 그래프가 시작되는 지점이랍니다!
• 정의역과 치역의 변화:
  • a > 0일 때:
    • 정의역: {x | x ≥ p}
    • 치역: {y | y ≥ q}
  • a < 0일 때:
    • 정의역: {x | x ≤ p}
    • 치역: {y | y ≥ q}
• 그래프 방향은 a의 부호가 결정! (루트 앞 부호가 +일 때 기준)
  • a > 0: 시작점 (p,q)에서 오른쪽 위로!
  • a < 0: 시작점 (p,q)에서 왼쪽 위로!

만약 함수가 y = -√a(x-p) + q 형태라면 치역의 부등호 방향만 반대로 (y ≤ q) 바뀐다고 생각하면 돼요!

📚 개념정리

안녕, 그래프 모험가 친구들! 🧭 지난 시간에는 무리함수의 기본형 y = √ax 그래프를 배웠죠? 오늘은 이 기본형 그래프를 x축, y축으로 평행이동시켜서 만드는 y = √a(x-p) + q (단, a ≠ 0) 형태의 무리함수 그래프에 대해 알아볼 거예요. 마치 기본 블록을 원하는 위치로 옮겨서 새로운 모양을 만드는 것과 같답니다! 🧩

함수 y = √a(x-p) + q의 그래프는 기본형인 y = √ax 그래프를 평행이동 시킨 거예요. 어떻게 이동했는지 자세히 살펴볼까요?

• x 대신 x-p가 들어갔으니, x축 방향으로 p만큼 평행이동!
• 식 전체에 +q가 붙었으니 (원래는 y-q = √a(x-p) 형태니까요!), y축 방향으로 q만큼 평행이동!

이렇게 기본형 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 “쓱쓱” 밀었다고 생각하면 돼요. 이 평행이동 때문에 그래프의 중요한 특징들, 특히 시작점과 정의역, 치역이 함께 이동한답니다.

1. 시작점(꼭짓점)의 이동 🚩

기본형 y = √ax 그래프는 원점(0,0)에서 시작했죠? 이 시작점도 똑같이 평행이동해요!

• x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 이동하므로, 새로운 그래프의 시작점은 (p, q)가 됩니다. 이 점을 기준으로 그래프가 뻗어 나가게 돼요.

2. 정의역과 치역의 변화 🌍

시작점이 이동했으니, x와 y가 가질 수 있는 값의 범위인 정의역과 치역도 변하겠죠?

루트 앞의 부호가 + 인 y = √a(x-p) + q를 기준으로 볼게요.

• a > 0일 때: (그래프가 오른쪽 위로 향하는 경우)
  • 정의역: 근호 안 a(x-p) ≥ 0이어야 하고 a > 0이므로, x-p ≥ 0, 즉 x ≥ p가 됩니다. {x | x ≥ p}
  • 치역: √a(x-p) ≥ 0이므로, √a(x-p) + q ≥ q, 즉 y ≥ q가 됩니다. {y | y ≥ q}
• a < 0일 때: (그래프가 왼쪽 위로 향하는 경우)
  • 정의역: 근호 안 a(x-p) ≥ 0이어야 하고 a < 0이므로, x-p ≤ 0 (부등호 방향 바뀜!), 즉 x ≤ p가 됩니다. {x | x ≤ p}
  • 치역: √a(x-p) ≥ 0이므로, √a(x-p) + q ≥ q, 즉 y ≥ q가 됩니다. {y | y ≥ q}

만약 함수가 y = -√a(x-p) + q 형태라면, 루트 앞의 마이너스 부호 때문에 치역이 y ≤ q로 바뀐다는 점도 기억해주세요! (정의역은 동일해요)

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✅ 개념확인

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💡 참고