⭐ 핵심만정리

무리함수의 가장 기본이 되는 두 가지 형태, y = √ax와 y = -√ax (단, a ≠ 0) 그래프의 핵심 특징을 알아봐요! 🚀

• y = √ax 그래프:
  • a > 0일 때:
    • 정의역: {x | x ≥ 0}, 치역: {y | y ≥ 0}
    • 그래프는 원점에서 시작해서 오른쪽 위로 뻗어 나가는 곡선! (제1사분면)
  • a < 0일 때:
    • 정의역: {x | x ≤ 0}, 치역: {y | y ≥ 0}
    • 그래프는 원점에서 시작해서 왼쪽 위로 뻗어 나가는 곡선! (제2사분면)
• y = -√ax 그래프: (이 그래프는 y = √ax 그래프를 x축에 대해 대칭이동한 모양이에요!)
  • a > 0일 때:
    • 정의역: {x | x ≥ 0}, 치역: {y | y ≤ 0}
    • 그래프는 원점에서 시작해서 오른쪽 아래로 뻗어 나가는 곡선! (제4사분면)
  • a < 0일 때:
    • 정의역: {x | x ≤ 0}, 치역: {y | y ≤ 0}
    • 그래프는 원점에서 시작해서 왼쪽 아래로 뻗어 나가는 곡선! (제3사분면)
• 공통점: 두 함수 모두 |a|의 값이 클수록 x축에서 더 멀리 떨어져요! 그리고 원점(0,0)을 항상 지난답니다.

📚 개념정리

안녕, 그래프 모험가 친구들! 🗺️ 오늘은 무리함수의 가장 기본적이면서도 중요한 두 가지 형태, 바로 y = √ax와 y = -√ax (여기서 a는 0이 아닌 상수예요!) 그래프가 어떻게 생겼는지, 어떤 성질을 가지고 있는지 함께 탐험해 볼 거예요. 이 기본 모양만 잘 익혀두면 앞으로 더 복잡한 무리함수 그래프도 쉽게 그릴 수 있답니다! 😉

1. 무리함수 y = √ax (단, a ≠ 0) 그래프 📈

이 함수의 그래프는 a의 부호에 따라 모양과 그려지는 위치가 달라져요.

• a > 0일 때 (예: y = √2x, y = √x):
  • 정의역: 루트 안의 ax가 0 이상이어야 하므로, ax ≥ 0. a가 양수니까 x ≥ 0이 돼요. 즉, {x | x ≥ 0}.
  • 치역: √ax의 값은 항상 0 이상이므로, y ≥ 0이 돼요. 즉, {y | y ≥ 0}.
  • 그래프 모양: 원점(0,0)에서 시작해서 오른쪽 위로 부드럽게 휘어져 올라가는 곡선 모양이에요. 제1사분면에 그려지죠!
  y = √ax (a > 0)
  원점에서 오른쪽 위로
• a < 0일 때 (예: y = √(-2x), y = √(-x)):
  • 정의역: 루트 안의 ax가 0 이상이어야 하므로, ax ≥ 0. a가 음수니까 부등호 방향이 바뀌어서 x ≤ 0이 돼요. 즉, {x | x ≤ 0}.
  • 치역: √ax의 값은 여전히 항상 0 이상이므로, y ≥ 0이 돼요. 즉, {y | y ≥ 0}.
  • 그래프 모양: 원점(0,0)에서 시작해서 왼쪽 위로 부드럽게 휘어져 올라가는 곡선 모양이에요. 제2사분면에 그려진답니다!
  y = √ax (a < 0)
  원점에서 왼쪽 위로

팁! 함수 y = √ax의 그래프는 이차함수 y = x²/a (x≥0 또는 x≤0, a의 부호에 따라)의 그래프를 직선 y=x에 대해 대칭이동시킨 모양의 일부라고 생각할 수 있어요. (역함수 관계!)

2. 무리함수 y = -√ax (단, a ≠ 0) 그래프 📉

이 함수는 y = √ax 그래프와 아주 밀접한 관련이 있어요. 바로 y = √ax 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시킨 모양이거든요! 루트 앞에 마이너스(-)가 붙었으니 y값의 부호가 반대가 되는 거죠.

• a > 0일 때 (예: y = -√2x, y = -√x):
  • 정의역: y = √ax와 똑같이 x ≥ 0. 즉, {x | x ≥ 0}.
  • 치역: √ax ≥ 0이므로 -√ax ≤ 0이 돼요. 즉, {y | y ≤ 0}.
  • 그래프 모양: 원점(0,0)에서 시작해서 오른쪽 아래로 부드럽게 휘어져 내려가는 곡선 모양이에요. 제4사분면에 그려지죠!
  y = -√ax (a > 0)
  원점에서 오른쪽 아래로
• a < 0일 때 (예: y = -√(-2x), y = -√(-x)):
  • 정의역: y = √ax와 똑같이 x ≤ 0. 즉, {x | x ≤ 0}.
  • 치역: √ax ≥ 0이므로 -√ax ≤ 0이 돼요. 즉, {y | y ≤ 0}.
  • 그래프 모양: 원점(0,0)에서 시작해서 왼쪽 아래로 부드럽게 휘어져 내려가는 곡선 모양이에요. 제3사분면에 그려진답니다!
  y = -√ax (a < 0)
  원점에서 왼쪽 아래로

공통적인 성질! 두 함수 y = √ax와 y = -√ax 모두, |a| (a의 절댓값)의 값이 클수록 그래프는 x축에서 더 멀리 떨어져서 그려져요. 즉, 더 ‘뚱뚱하게’ 휘어진다고 생각할 수 있어요.

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✅ 개념확인

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💡 참고