222 무리함수란 무엇일까? 🤔 루트 속 x의 세계!
⭐ 핵심만정리
함수의 세계에 또 다른 새로운 친구, ‘무리함수’를 소개합니다! 🌿
- 무리함수란? 함수 y = f(x)에서 f(x)가 x에 대한 무리식일 때, 이 함수를 무리함수라고 해요. 즉, 루트(√) 안에 문자가 들어있는 함수라고 생각하면 쉬워요!
- 무리함수의 정의역 (가장 중요! ⭐): 특별히 정의역이 주어지지 않은 경우에는, 근호(루트) 안의 식의 값이 0 이상 (≥ 0)이 되도록 하는 모든 실수의 집합을 정의역으로 생각해요! (분모에 루트가 있다면 분모는 0이 되면 안 되는 조건도 추가돼요!)
- 주의! y = √(x-2)2처럼 루트 안이 완전제곱식이어서 y = |x-2|와 같이 루트가 사라지는 경우는 무리함수가 아니에요!
📚 개념정리
안녕, 수학 모험가 친구들! 🎒 오늘은 ‘무리식’을 품고 있는 특별한 함수, 바로 ‘무리함수’에 대해 알아볼 거예요. 이름에서부터 루트(√)의 향기가 솔솔 풍기죠? 함께 무리함수의 세계로 떠나봅시다! 😊
무리함수가 뭐예요? 🤔
함수 y = f(x)에서, x에 대한 식인 f(x)가 x에 대한 무리식일 때, 이 함수를 무리함수라고 불러요. 무리식이란 근호(루트) 안에 문자가 포함되어 있으면서 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 말했었죠? (개념 219 참고!)
예를 들어, 이런 함수들이 바로 무리함수랍니다:
- y = √x
- y = √(2x + 1) – 3
- y = -√(5 – x)
하지만 y = √(x-2)2 같은 경우는 조심해야 해요! 이 식은 y = |x-2|와 같아지므로, 루트가 사라져서 무리함수가 아니랍니다.
무리함수의 정의역: 루트 안은 0 이상! 🌳
무리함수를 다룰 때 가장 먼저 신경 써야 할 부분이 바로 정의역이에요. 정의역은 함수에서 x값이 될 수 있는 범위를 말하죠. 무리함수에서는 특별한 언급이 없는 한, 근호(루트) 안의 식의 값이 항상 0보다 크거나 같도록 (≥ 0) 하는 모든 실수의 집합을 정의역으로 생각해요.
왜냐하면 우리가 실수 범위에서 함수를 다루기 때문에, 루트 안에 음수가 들어가면 그 값은 실수가 아니게 되기 때문이에요. (루트 안이 음수인 경우는 ‘허수’라고 해서 나중에 더 자세히 배워요!)
예를 들어, 무리함수 y = √(-3x)의 정의역을 구해볼까요?
근호 안의 식 -3x가 0보다 크거나 같아야 해요.
-3x ≥ 0
양변을 -3으로 나누면 부등호 방향이 바뀌어서,
x ≤ 0 이 됩니다.
따라서 이 함수의 정의역은 {x | x ≤ 0인 모든 실수}예요.
다른 예로, y = √(x – 1)의 정의역은 어떻게 될까요?
근호 안의 식 x – 1이 0보다 크거나 같아야 하므로,
x – 1 ≥ 0 ➡️ x ≥ 1
따라서 이 함수의 정의역은 {x | x ≥ 1인 모든 실수}입니다.
만약 무리식이 분수 형태의 분모에 있다면, (근호 안 ≥ 0) 조건과 함께 (분모 ≠ 0) 조건도 함께 고려해야겠죠?
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 함수의 정의역을 구하시오.
(1) y = -√(2x + 6)
(2) y = √(4 – 2x)
(3) y = √|x – 1|
(원본 문제: (1) y = -√(4x+2) (2) y = √(2-3x) (3) y = √|x|)💡 풀이:
무리함수의 정의역은 근호 안의 식이 0 이상이 되는 x의 범위예요!
(1) y = -√(2x + 6)
근호 안의 식 2x + 6이 0보다 크거나 같아야 해요.
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ -6
x ≥ -3
따라서 정의역은 {x | x ≥ -3} 입니다.
(2) y = √(4 – 2x)
근호 안의 식 4 – 2x가 0보다 크거나 같아야 해요.
4 – 2x ≥ 0
4 ≥ 2x
2 ≥ x, 즉 x ≤ 2
따라서 정의역은 {x | x ≤ 2} 입니다.
(3) y = √|x – 1|
근호 안의 식 |x – 1|이 0보다 크거나 같아야 해요.
그런데 절댓값의 성질에 의해 |x – 1|은 항상 0보다 크거나 같아요! 어떤 x값을 넣든지 말이죠.
따라서 이 함수의 정의역은 모든 실수 입니다. {x | x는 모든 실수}
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💡 참고
무리함수와 친해지기 위한 첫걸음은 바로 ‘정의역’을 제대로 파악하는 거예요! 🌱
루트 안의 식이 음수가 되면 안 된다는 것, 이것만 기억하면 무리함수의 정의역을 구하는 것은 어렵지 않아요. 앞으로 무리함수의 그래프를 그리거나 여러 가지 성질을 배울 때도 이 정의역의 개념은 계속해서 중요하게 사용된답니다.
무리식에서 근호 안의 식의 값이 0 또는 양수가 되도록 하는 모든 실수의 집합이 바로 무리함수가 살아갈 수 있는 땅, 즉 정의역이라는 것을 잊지 마세요! 😉