220 분모의 유리화 ✨: 루트 계산의 필수 스킬!
⭐ 핵심만정리
분모에 루트(√)가 있으면 계산이 불편하죠? ‘분모의 유리화’로 깔끔하게 만들어봐요! 🧹
- 분모의 유리화란? 분모에 근호(루트)가 포함된 수 또는 식이 있을 때, 분자와 분모에 적당한 수 또는 식을 곱해서 분모에 근호가 없도록 변형하는 것을 말해요.
- 유리화 방법 (분모의 모양에 따라 달라요!):
- 분모가 √b 꼴일 때: 분자와 분모에 √b를 곱해요!
a√b = a√bb - 분모가 √a + √b 꼴일 때: 분자와 분모에 √a – √b를 곱해요! (곱셈 공식 (x+y)(x-y)=x2-y2 이용!)
c√a + √b = c(√a – √b)a – b (단, a ≠ b) - 분모가 √a – √b 꼴일 때: 분자와 분모에 √a + √b를 곱해요!
c√a – √b = c(√a + √b)a – b (단, a ≠ b)
- 분모가 √b 꼴일 때: 분자와 분모에 √b를 곱해요!
분모의 유리화는 계산을 더 편리하게 만들어주는 아주 중요한 기술이랍니다! 💪
📚 개념정리
안녕, 수학 탐험가 친구들! 🧭 우리가 루트(√) 계산을 하다 보면 분모에 루트가 떡하니 버티고 있어서 계산이 복잡해지는 경우가 있죠? 이럴 때 분모를 깔끔한 유리수로 만들어주는 마법 같은 기술이 바로 ‘분모의 유리화’랍니다! ✨ 오늘은 이 유리화 기술을 함께 배워볼게요!
분모의 유리화, 왜 필요할까요? 🤔
분모에 루트가 있으면 수를 가늠하기도 어렵고, 다른 수와 더하거나 뺄 때 통분하기도 까다로워요. 예를 들어 1/√2라는 수가 있을 때, √2가 약 1.414…인 무리수라서 1 ÷ 1.414…를 직접 계산하기는 어렵죠. 하지만 분모를 유리화해서 √2/2로 만들면 1.414… ÷ 2가 되어 계산이 훨씬 수월해진답니다! 이처럼 분모의 유리화는 계산을 편리하게 하기 위해서 하는 거예요.
분모의 모양에 따른 유리화 방법! 🛠️
분모의 유리화는 분모의 형태에 따라 사용하는 방법이 조금씩 달라요. 핵심은 분모에 있는 루트를 없애는 것! (√a)2 = a가 되는 성질과 곱셈 공식을 잘 활용하면 된답니다.
1. 분모가 √b 꼴일 때
가장 간단한 경우예요! 분자와 분모에 똑같이 √b를 곱해주면 분모의 루트가 사라져요.
a√b = a × √b√b × √b = a√bb
예) 3√2 = 3 × √2√2 × √2 = 3√22
2. 분모가 √a + √b 또는 √a – √b 꼴일 때
이때는 곱셈 공식 (x + y)(x – y) = x2 – y2을 이용해요! 이 공식을 쓰면 각 항을 제곱해서 루트를 없앨 수 있거든요.
- 분모가 √a + √b 꼴이면: 분자와 분모에 √a – √b를 곱해요.
c√a + √b = c (√a – √b)(√a + √b)(√a – √b) = c(√a – √b)(√a)2 – (√b)2 = c(√a – √b)a – b (단, a ≠ b)
- 분모가 √a – √b 꼴이면: 분자와 분모에 √a + √b를 곱해요.
c√a – √b = c (√a + √b)(√a – √b)(√a + √b) = c(√a + √b)(√a)2 – (√b)2 = c(√a + √b)a – b (단, a ≠ b)
분모가 a + √b 또는 a – √b 꼴일 때도 비슷한 방법으로 유리화할 수 있어요!
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✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 다음 수의 분모를 유리화하시오.
(1) 4√3 + 1
(2) √5 + √3√5 – √3
(원본 문제: (1) 2/(√5+1) (2) (√3+√2)/(√3-√2))💡 풀이 1:
(1) 4√3 + 1
분모가 √3 + 1이므로, 분자와 분모에 √3 – 1을 곱해줍시다.
= 4(√3 – 1)(√3 + 1)(√3 – 1) = 4(√3 – 1)(√3)2 – 12 = 4(√3 – 1)3 – 1 = 4(√3 – 1)2
약분하면 2(√3 – 1) 또는 2√3 – 2 가 됩니다.
(2) √5 + √3√5 – √3
분모가 √5 – √3이므로, 분자와 분모에 √5 + √3을 곱해줍시다.
= (√5 + √3)(√5 + √3)(√5 – √3)(√5 + √3) = (√5 + √3)2(√5)2 – (√3)2
분자를 곱셈 공식 (x+y)2 = x2 + 2xy + y2을 이용하여 전개하면:
= (√5)2 + 2(√5)(√3) + (√3)25 – 3 = 5 + 2√15 + 32 = 8 + 2√152
분자를 2로 나누어 약분하면 4 + √15 가 됩니다.
✏️ 문제 2: 다음 식의 분모를 유리화하시오.
1√(a+1) – √a
(원본 문제: 1/(√(a+2)-√a))💡 풀이 2:
분모가 √(a+1) – √a이므로, 분자와 분모에 √(a+1) + √a를 곱해줍시다.
= 1 × (√(a+1) + √a)(√(a+1) – √a)(√(a+1) + √a)
= √(a+1) + √a(√(a+1))2 – (√a)2 = √(a+1) + √a(a+1) – a = √(a+1) + √a1
따라서 답은 √(a+1) + √a 입니다! 분모가 1이 되어 아주 깔끔해졌죠? 😄
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💡 참고
분모의 유리화는 왜 할까요? 단순히 보기 좋게 만들려고 하는 걸까요? 🤔 물론 식을 간단하고 예쁘게 만드는 목적도 있지만, 더 중요한 이유가 있어요!
- 계산의 편리성: 앞서 말했듯이, 분모에 무리수가 있으면 나눗셈을 하거나 다른 수와 연산할 때 매우 불편해요. 유리화를 통해 분모를 유리수로 만들면 계산이 훨씬 쉬워진답니다.
- 값의 비교: 분모가 유리화된 수는 다른 수와 크기를 비교하기가 더 용이해요.
- 표준적인 표현: 수학에서는 보통 답을 쓸 때 분모를 유리화해서 나타내는 것을 약속처럼 사용해요. 문제의 답을 적을 때는 꼭 분모를 유리화해주는 센스! 😉
분모의 유리화는 루트 계산의 기본 중의 기본이니, 다양한 문제를 통해 꼭 익숙해지도록 연습하세요! 💪