214 유리함수 y=(ax+b)/(cx+d) 그래프 🎭: 변신의 귀재!
⭐ 핵심만정리
복잡해 보이는 유리함수 ax+bcx+d (단, ad-bc ≠ 0, c ≠ 0) 형태도 간단하게 변신시켜 그래프를 그릴 수 있어요! 💫
- 변신의 핵심: 주어진 식을 y = kx-p + q 꼴 (표준형)으로 바꿔요!
- 변신 방법:
- 분자 (ax+b)를 분모 (cx+d)로 나누어 몫과 나머지를 구해요.
- y = (몫) + 나머지cx+d 형태로 고쳐 써요. (이때 나머지cx+d 부분을 잘 정리하면 kx-p 형태가 된답니다!)
- 변신 후에는? 이전 시간에 배운 y = k/(x-p) + q 그래프 그리는 방법을 그대로 적용하면 끝! (점근선 x=p, y=q 찾고, k의 부호에 따라 그리기)
- 점근선 쉽게 찾는 꿀팁:
- 세로 점근선: 분모 cx+d = 0 ➡️ x = -d/c
- 가로 점근선: y = a/c (x의 계수들의 비율)
📚 개념정리
안녕, 그래프 변신술사 친구들! 🎨 오늘은 조금 더 복잡해 보이는 유리함수, 바로 y = ax+bcx+d (단, ad-bc ≠ 0, c ≠ 0) 형태의 그래프를 어떻게 그리는지 배워볼 거예요. 이 식은 마치 변신 로봇처럼, 우리가 잘 아는 y = k/(x-p) + q 형태로 변신할 수 있답니다! 그 변신 과정을 함께 따라가 볼까요?
유리함수 y = ax+bcx+d의 그래프는 다음과 같은 순서로 우리가 익숙한 y = k/(x-p) + q 꼴로 변형하여 그려요.
- 1단계: 분자를 분모로 나누기 (다항식의 나눗셈)
분자인 다항식 ax+b를 분모인 다항식 cx+d로 직접 나누어서 몫과 나머지를 구해요. 마치 숫자의 나눗셈처럼요! - 2단계: y = (몫) + 나머지원래분모 형태로 변형하기
나눗셈 결과를 이용해서 원래의 유리함수를 y = (몫) + 나머지cx+d 와 같은 형태로 바꿔 써요. 이 과정에서 나머지cx+d 부분을 잘 정리하면 kx-p 형태로 만들 수 있어요. (분모 cx+d를 c(x+d/c)로 바꾸고 분자를 정리하는 과정이 필요할 수 있어요.)
이렇게 변형하고 나면, 우리는 y = k/(x-p) + q 형태의 그래프 그리는 방법을 이미 알고 있죠? 점근선 x=p, y=q를 찾고, k의 부호에 따라 쌍곡선을 그려주면 된답니다!
✨ 예시: y = 2x+7x+3 그래프 그리기
(원본 예시: y = (2x+5)/(x+2))1단계: 분자를 분모로 나누기
(2x+7) ÷ (x+3)을 해봅시다.
2x+7 = 2(x+3) + 1 (몫: 2, 나머지: 1)
2단계: y = (몫) + 나머지원래분모 형태로 변형
y = 2 + 1x+3
이 식은 y = 1x-(-3) + 2와 같아요! 아하, k=1, p=-3, q=2인 형태네요!
3단계: 그래프 그리기
- 점근선: x = -3, y = 2
- k = 1 > 0이므로, 점근선으로 나뉜 영역의 오른쪽 위와 왼쪽 아래에 쌍곡선이 그려져요.
y = (2x+7)/(x+3) 그래프
점근선: x = -3, y = 2
(오른쪽 위, 왼쪽 아래 쌍곡선)
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 함수 y = 4x – 5x – 2의 그래프를 그리고, 점근선의 방정식, x축 및 y축과의 교점의 좌표를 각각 구하시오.
(원본 문제: y = (3x-1)/(x-1))💡 풀이:
먼저 주어진 함수를 y = k/(x-p) + q 꼴로 변형해 봅시다.
1. 분자를 분모로 나누기:
(4x – 5) ÷ (x – 2)
4x – 5 = 4(x – 2) + 3 (몫: 4, 나머지: 3)
2. 표준형으로 변형:
y = 4 + 3x – 2 = 3x – 2 + 4
이제 그래프의 특징을 알 수 있어요!
- 점근선의 방정식: x = 2, y = 4
- k = 3 > 0이므로, 점근선을 기준으로 오른쪽 위와 왼쪽 아래에 그래프가 그려집니다.
3. x축과의 교점 (y=0일 때 x값):
0 = 4x – 5x – 2 ➡️ 4x – 5 = 0 (단, x-2 ≠ 0)
4x = 5 ➡️ x = 5/4
따라서 x축과의 교점은 (5/4, 0) 입니다.
4. y축과의 교점 (x=0일 때 y값):
y = 4(0) – 50 – 2 = -5-2 = 5/2
따라서 y축과의 교점은 (0, 5/2) 입니다.
y = (4x-5)/(x-2) 그래프
점근선: x = 2, y = 4
x절편: (5/4, 0), y절편: (0, 5/2)
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💡 참고
유리함수 y = ax+bcx+d 형태에서 점근선을 아주 빠르게 찾는 비법이 있어요! 🚀
- 세로 점근선: 분모를 0으로 만드는 x 값! 즉, cx + d = 0 ➡️ x = -d/c
- 가로 점근선: x의 계수들의 비율! 즉, y = a/c
이 공식을 기억해두면 그래프를 그리기 전에 점근선을 바로 파악할 수 있어서 아주 편리해요! 하지만 이 공식은 c ≠ 0일 때만 사용할 수 있다는 점, 잊지 마세요! 만약 c=0이면 함수는 y = (ax+b)/d = (a/d)x + (b/d) 꼴의 일차함수가 된답니다 (단, d ≠ 0). 그리고 ad-bc=0이면 함수는 상수함수가 돼요.