213 유리함수 y=k/(x-p)+q 그래프: 평행이동 마스터하기!

213 유리함수 y=k/(x-p)+q 그래프 🚕: 평행이동 마스터하기!

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⭐ 핵심만정리

유리함수 y = k/(x-p) + q (단, k ≠ 0) 그래프, 이것만 알면 정복 가능! 🗺️

기본형과의 관계: 이 그래프는 기본형 유리함수 y = k/x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 것이에요! [cite: 181]
새로운 점근선: 기본형의 점근선(x축, y축)도 함께 평행이동해요!
- 세로 점근선: x = p [cite: 182]
- 가로 점근선: y = q [cite: 182]
새로운 대칭의 중심: 기본형의 대칭 중심(원점)도 (p, q)로 이동해요! 이 점 (p, q)에 대하여 대칭인 그래프가 된답니다. [cite: 182]
정의역: x ≠ p인 모든 실수 [cite: 182]
치역: y ≠ q인 모든 실수 [cite: 182]
k의 역할은 그대로!:
- k > 0이면 새로운 점근선으로 나뉜 영역 중 오른쪽 위와 왼쪽 아래 부분에 그려져요.
- k < 0이면 새로운 점근선으로 나뉜 영역 중 왼쪽 위와 오른쪽 아래 부분에 그려져요.

📚 개념정리

안녕, 그래프 탐험가 친구들! 🧭 지난 시간에는 기본형 유리함수 y = k/x의 그래프를 배웠죠? 오늘은 이 기본형 그래프를 요리조리 움직여서 만드는 y = k/(x-p) + q 형태의 유리함수 그래프에 대해 알아볼 거예요. 마치 기본 블록을 가지고 더 멋진 작품을 만드는 것과 같답니다! ✨

함수 y = k/(x-p) + q (단, k ≠ 0)의 그래프는 기본형인 y = k/x 그래프를 평행이동 시킨 거예요. [cite: 181] 어떻게 이동했는지 자세히 살펴볼까요?

x 대신 x-p가 들어갔으니, x축 방향으로 p만큼 평행이동!
식 전체에 +q가 붙었으니 (원래는 y-q = k/(x-p) 형태니까요!), y축 방향으로 q만큼 평행이동! [cite: 183]

이렇게 기본형 그래프를 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 “쓱쓱” 밀었다고 생각하면 돼요. 이 평행이동 때문에 그래프의 중요한 특징들도 함께 이동한답니다.

1. 점근선의 이동 📏

기본형 y = k/x의 점근선은 x축(y=0)과 y축(x=0)이었죠? 이 점근선들도 똑같이 평행이동해요!

원래 y축(x=0)이었던 세로 점근선은 x축 방향으로 p만큼 이동해서 직선 x = p가 돼요. [cite: 182]
원래 x축(y=0)이었던 가로 점근선은 y축 방향으로 q만큼 이동해서 직선 y = q가 된답니다. [cite: 182]

즉, 새로운 점근선은 두 직선 x = p와 y = q가 되는 거예요!

2. 대칭 중심의 이동 🎯

기본형 y = k/x 그래프는 원점(0,0)에 대해 대칭이었죠? 이 대칭의 중심점도 x축으로 p만큼, y축으로 q만큼 이동해서 점 (p, q)가 새로운 대칭의 중심이 돼요. [cite: 182, 184] 그래서 y = k/(x-p) + q의 그래프는 점 (p, q)에 대하여 대칭인 모양을 갖게 됩니다.

3. 정의역과 치역의 변화 🗺️

점근선이 이동했으니, 정의역과 치역도 변하겠죠?

정의역: 세로 점근선이 x=p가 되었으므로, x ≠ p인 모든 실수가 정의역이 돼요. [cite: 182] ({x | x ≠ p인 실수})
치역: 가로 점근선이 y=q가 되었으므로, y ≠ q인 모든 실수가 치역이 된답니다. [cite: 182] ({y | y ≠ q인 실수})

4. k의 역할은 변하지 않아요! 😉

상수 k의 부호에 따른 그래프의 위치와 |k|의 크기에 따른 원점(여기서는 새로운 대칭 중심 (p,q))으로부터의 거리는 기본형과 똑같아요!

k > 0이면, 새로운 점근선 x=p, y=q로 나뉜 네 개의 영역 중에서 오른쪽 위와 왼쪽 아래 방향에 그래프가 그려져요.
k < 0이면, 왼쪽 위와 오른쪽 아래 방향에 그래프가 그려진답니다.

y = k/x 그래프 (회색)

y = k/(x-p)+q 그래프 (색깔)

(점근선 x=p, y=q 표시)

연산 PDF 링크 삽입 위치

✅ 개념확인

✏️ 문제: 함수 y = -3/(x+2) + 1의 그래프를 그리고, 점근선의 방정식을 구하시오.

(원본 문제: y = -2/(x+1) + 1)

💡 풀이:

이 함수는 기본형 y = -3/x의 그래프를 평행이동한 것으로 볼 수 있어요!

분모가 x+2이므로 x – (-2)로 생각할 수 있죠? 즉, x축 방향으로 -2만큼 평행이동했어요. (p = -2)
식 뒤에 +1이 붙었으므로, y축 방향으로 1만큼 평행이동했어요. (q = 1)

따라서,

점근선의 방정식은:
- 세로 점근선: x = p ➡️ x = -2
- 가로 점근선: y = q ➡️ y = 1
그래프의 형태 (k의 부호 확인):
k = -3으로 음수(k < 0)이므로, 그래프는 새로운 점근선인 x=-2, y=1에 의해 나뉜 네 영역 중 왼쪽 위와 오른쪽 아래 방향으로 그려지는 한 쌍의 곡선이 됩니다.
대칭의 중심: 점 (-2, 1)

y = -3/(x+2) + 1 그래프

점근선: x = -2, y = 1

(왼쪽 위, 오른쪽 아래 쌍곡선)

그래프를 좀 더 정확히 그리려면, 점근선 주변의 몇몇 점들을 대입해서 좌표를 찾아보는 것도 좋은 방법이에요! 예를 들어 x=0일 때 y = -3/2 + 1 = -1/2 이므로 점 (0, -1/2)을 지나네요.