212 유리함수 y=k/x 그래프 📈: 쌍곡선의 아름다움과 점근선!
⭐ 핵심만정리
유리함수 y = k/x (단, k ≠ 0) 그래프의 특징을 빠르게 알아볼까요? [cite: 173]
- 모양: 한 쌍의 매끄러운 곡선, 바로 ‘쌍곡선’ 모양이에요!
- 정의역: 분모가 0이 되면 안 되니까, x ≠ 0인 모든 실수예요. [cite: 174]
- 치역: y도 0이 될 수 없어요! y ≠ 0인 모든 실수랍니다. [cite: 174]
- 점근선: 그래프가 한없이 가까워지지만 만나지는 않는 선! 바로 x축(y=0)과 y축(x=0)이 점근선이에요. [cite: 174]
- 대칭성: 원점에 대해 대칭이고, 직선 y = x와 직선 y = -x에 대해서도 대칭이에요. [cite: 174]
- k의 역할:
- k > 0이면 그래프는 제1사분면과 제3사분면에 그려져요. [cite: 175]
- k < 0이면 그래프는 제2사분면과 제4사분면에 그려진답니다. [cite: 175]
- |k| (k의 절댓값)가 클수록 그래프는 원점에서 더 멀리 떨어져요. [cite: 175]
📚 개념정리
안녕하세요, 수학 탐험가 친구들! 🚀 오늘은 분수 형태를 가진 특별한 함수, 유리함수 중에서도 가장 기본적이면서 중요한 y = k/x (단, k ≠ 0)의 그래프에 대해 자세히 알아볼 거예요. [cite: 173] 이 그래프는 어떤 비밀을 숨기고 있을까요?
유리함수 y = k/x (여기서 k는 0이 아닌 상수예요!) 그래프의 성질은 다음과 같아요. [cite: 173]
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정의역과 치역:
정의역은 분모가 0이 되면 안 되기 때문에 x = 0을 제외한 모든 실수예요. 즉, {x | x ≠ 0인 실수}. [cite: 174]
치역도 마찬가지로 k/x가 0이 될 수 없으므로 y = 0을 제외한 모든 실수, {y | y ≠ 0인 실수}랍니다. [cite: 174] -
점근선:
그래프가 어떤 직선에 한없이 가까워지지만 절대로 만나지 않을 때, 그 직선을 점근선이라고 해요. [cite: 176] y = k/x 그래프의 점근선은 바로 x축 (방정식으로는 y=0)과 y축 (방정식으로는 x=0)이랍니다. [cite: 174] x값이 엄청 커지거나 작아지면 y값은 0에 가까워지고, x값이 0에 가까워지면 y값은 엄청 커지거나 작아지거든요! [cite: 177] -
대칭성:
이 그래프는 여러 가지 대칭성을 가지고 있어요! [cite: 174]- 원점 (0,0)에 대하여 대칭이에요. [cite: 174]
- 직선 y = x에 대하여 대칭이에요. [cite: 174]
- 직선 y = -x에 대하여도 대칭이랍니다. [cite: 174]
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k의 부호와 그래프의 위치:
상수 k의 부호에 따라 그래프가 그려지는 사분면이 달라져요.- k > 0 (k가 양수)일 때: 그래프는 제1사분면과 제3사분면에 그려져요. [cite: 175]
- k < 0 (k가 음수)일 때: 그래프는 제2사분면과 제4사분면에 그려진답니다. [cite: 175]
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k의 절댓값과 그래프의 모양:
|k| (k의 절댓값)의 크기는 그래프가 원점으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 결정해요. |k|값이 클수록 그래프는 원점에서 더 멀리 떨어져서 그려져요. [cite: 175] 반대로 |k|값이 작을수록 원점에 더 가깝게 그려지겠죠? [cite: 177]
✨ 예시: y = 2/x 와 y = -2/x 그래프 비교
1. y = 2/x의 경우:
- k = 2로 양수이므로, 그래프는 제1사분면과 제3사분면에 그려져요. [cite: 175]
- 점근선은 x축과 y축입니다. [cite: 174]
- 예를 들어 x=1일 때 y=2, x=2일 때 y=1, x=-1일 때 y=-2, x=-2일 때 y=-1 등의 점을 지나요.
y = 2/x 그래프 예시 (제1, 3사분면 쌍곡선)
2. y = -2/x의 경우:
- k = -2로 음수이므로, 그래프는 제2사분면과 제4사분면에 그려져요. [cite: 175]
- 점근선은 역시 x축과 y축입니다. [cite: 174]
- 예를 들어 x=1일 때 y=-2, x=2일 때 y=-1, x=-1일 때 y=2, x=-2일 때 y=1 등의 점을 지나요.
y = -2/x 그래프 예시 (제2, 4사분면 쌍곡선)
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 함수의 그래프를 그리고, 점근선을 말하시오. [cite: 179]
- y = 4/x
- y = -1/x
💡 풀이:
1. y = 4/x
- 이 함수는 k = 4인 경우예요. k > 0이므로 그래프는 제1사분면과 제3사분면에 그려지는 한 쌍의 곡선(쌍곡선)이 됩니다. [cite: 175]
- 점근선은 x축 (y=0)과 y축 (x=0)입니다. [cite: 174]
- 그래프를 그리려면 몇 개의 점을 찾아 연결하면 좋아요!
- x=1 일 때 y=4 → (1, 4)
- x=2 일 때 y=2 → (2, 2)
- x=4 일 때 y=1 → (4, 1)
- x=-1 일 때 y=-4 → (-1, -4)
- x=-2 일 때 y=-2 → (-2, -2)
- x=-4 일 때 y=-1 → (-4, -1)
y = 4/x 그래프 (제1, 3사분면)
2. y = -1/x
- 이 함수는 k = -1인 경우예요. k < 0이므로 그래프는 제2사분면과 제4사분면에 그려지는 한 쌍의 곡선(쌍곡선)이 됩니다. [cite: 175]
- 점근선은 여전히 x축 (y=0)과 y축 (x=0)입니다. [cite: 174]
- 몇 개의 점을 찾아볼까요?
- x=1 일 때 y=-1 → (1, -1)
- x=0.5 (즉, 1/2) 일 때 y=-2 → (0.5, -2)
- x=-1 일 때 y=1 → (-1, 1)
- x=-0.5 (즉, -1/2) 일 때 y=2 → (-0.5, 2)
y = -1/x 그래프 (제2, 4사분면)
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💡 참고
유리함수 y = k/x에 대해 더 알아두면 좋은 점들이 있어요!
- 점근선이란? 곡선 위의 점이 어떤 직선에 한없이 가까워질 때, 이 직선을 그 곡선의 점근선이라고 해요. [cite: 176] 유리함수 y = k/x에서는 x축과 y축이 바로 그 점근선이랍니다!
- 역함수의 비밀! 유리함수 y = k/x (단, k ≠ 0)의 그래프는 직선 y = x에 대하여 대칭이기 때문에, 이 함수의 역함수는 놀랍게도 자기 자신이에요! [cite: 178] 즉, f(x) = k/x라면 f-1(x) = k/x가 된답니다. 정말 신기하죠?