210 비례식의 표현 💡: 비례상수 k로 간단하게!
⭐ 핵심만정리
비례식을 문자를 사용해서 좀 더 세련되게 표현하는 방법, 바로 ‘비례상수 k’를 이용하는 거예요! 👑
- a : b = c : d 일 때, 두 가지 표현! (k는 0이 아닌 실수)
- 방법 1: ab = cd = k ➡️ a = bk, c = dk
- 방법 2: ac = bd = k ➡️ a = ck, b = dk
- a : b : c = d : e : f 일 때 (세 개의 비가 같을 때):
- ad = be = cf = k ➡️ a = dk, b = ek, c = fk [cite: 154]
비례상수 k를 사용하면 복잡한 비례식 문제를 한 문자로 깔끔하게 정리해서 풀 수 있어요! 특히 식의 값을 구할 때 아주 유용하답니다. ✨
📚 개념정리
안녕, 비례식 마스터를 꿈꾸는 친구들! 🧑🎓 지난 시간에 비례식의 기본 성질을 배웠죠? 오늘은 비례식을 좀 더 똑똑하게 표현하고 활용하는 방법을 알아볼 거예요. 바로 ‘비례상수 k’라는 비밀 도구를 사용하는 건데요, 이 친구만 있으면 복잡한 비례식 문제도 술술 풀린답니다! 🪄
비례식, 비례상수 k로 나타내기!
비례식은 두 개 이상의 비의 값이 같다는 것을 의미해요. 이 ‘같은 비의 값’을 문자로 나타내면 식을 다루기가 훨씬 편해지는데, 이때 사용하는 문자가 바로 비례상수 k예요. (k는 보통 0이 아닌 실수로 생각해요.) [cite: 154]
1. 두 비가 같을 때: a : b = c : d
이 비례식은 ab = cd 와 같죠? 이 공통된 비의 값을 k라고 하면,
ab = k ➡️ a = bk
cd = k ➡️ c = dk
이렇게 a와 c를 k를 사용해서 표현할 수 있어요. [cite: 154]
또는 비례식의 성질에 따라 ac = bd 로도 변형할 수 있으니, 이 값을 k라고 두면,
ac = k ➡️ a = ck
bd = k ➡️ b = dk
이렇게 표현할 수도 있답니다. [cite: 154] 문제 상황에 따라 더 편한 방법을 선택하면 돼요!
2. 세 개 이상의 비가 같을 때: a : b : c = d : e : f
이것은 a와 d의 비, b와 e의 비, c와 f의 비가 모두 같다는 뜻이에요. 즉,
ad = be = cf
이 공통된 비의 값을 k라고 하면,
a = dk, b = ek, c = fk 로 간단하게 나타낼 수 있어요! [cite: 154]
비례상수, 왜 사용할까요? 🤔
비례식을 만족시키는 여러 문자에 대한 식의 값을 구할 때, 비례식을 한 문자에 대해 정리해서 대입하려고 하면 식이 너무 복잡해질 때가 많아요. 특히 분수 안에 분수가 들어가는 번분수식 형태가 되기 쉽죠. [cite: 154] 이럴 때 비례상수 k를 사용하면 여러 문자를 k라는 하나의 문자로 통일해서 표현할 수 있기 때문에 계산이 훨씬 깔끔하고 쉬워진답니다! 魔法の杖(마법 지팡이) 같은 존재죠! 🧙♀️
✨ 예시: 비례상수 k로 식의 값 구하기
만약 x : y = 2 : 5일 때, x2 + xy + y2x2 + 3y2의 값을 구해볼까요? (원본 예시: x:y=2:3일 때 (x²+xy+y²)/(x²+2y²))
x : y = 2 : 5이므로 x2 = y5 = k (단, k ≠ 0) 라고 놓을 수 있어요.
그러면 x = 2k, y = 5k가 됩니다.
이제 이 식들을 원래 구하려던 식에 대입해 봅시다!
(2k)2 + (2k)(5k) + (5k)2(2k)2 + 3(5k)2
= 4k2 + 10k2 + 25k24k2 + 3(25k2)
= 39k24k2 + 75k2 = 39k279k2
k2은 0이 아니므로 약분하면, 답은 3979가 됩니다! 어때요, k를 사용하니 깔끔하게 풀리죠? 😊
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✅ 개념확인
✏️ 문제: x : y : z = 2 : 3 : 5일 때, y2 + zxx2 – 2yz의 값을 구하시오.
(원본 문제: x:y:z=3:2:4일 때, (y²+zx)/(x²-3yz) )💡 풀이:
x : y : z = 2 : 3 : 5 이므로, 비례상수 k (단, k ≠ 0)를 사용하여 다음과 같이 놓을 수 있어요.
x2 = y3 = z5 = k
따라서 x = 2k, y = 3k, z = 5k 입니다. [cite: 157]
이제 이 값들을 주어진 식에 대입해 봅시다!
(3k)2 + (5k)(2k)(2k)2 – 2(3k)(5k)
= 9k2 + 10k24k2 – 30k2
= 19k2-26k2
k2은 0이 아니므로 약분하면,
= –1926
따라서 답은 –1926 입니다! 비례상수 k 덕분에 복잡한 문제도 해결! 😉
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💡 참고
비례상수 k를 사용할 때 중요한 점! 🌟
비례상수 k는 ‘0이 아닌 실수’라고 가정하는 것이 일반적이에요. 왜냐하면 k=0이 되면 a, b, c, … 등의 값들이 모두 0이 되어버려서 비례의 의미가 없어지거나, 분모가 0이 되는 상황이 발생할 수 있기 때문이에요.
문제를 풀 때 a = bk, c = dk 와 같이 놓는 방법과 a = ck, b = dk 와 같이 놓는 방법 중 어떤 것을 선택해야 할지 헷갈릴 수 있어요. 어떤 방법으로 놓든 최종 답은 같게 나오지만, 문제의 형태에 따라 계산이 더 편리한 쪽을 선택하면 좋답니다. 보통은 a기준값1 = b기준값2 = k 형태로 놓고 푸는 것이 직관적일 때가 많아요! 👍