208 특수한 유리식 계산법 🧙♂️: 복잡한 식도 간단하게!
⭐ 핵심만정리
복잡해 보이는 유리식 계산도 유형에 따라 특별한 방법으로 간단하게 풀 수 있어요! 🛠️
- 분자의 차수 ≥ 분모의 차수일 때: 분자를 분모로 나누어 (분자의 차수) < (분모의 차수) 형태로 변형 후 계산해요. [cite: 134]
- 네 개 이상 유리식의 합 또는 차: 계산 과정이 간단해지도록 적절히 두 개씩 묶어서 계산해요. [cite: 135]
- 분모가 두 개 이상 인수의 곱일 때 (부분분수 변형): 마법의 공식 1AB = 1B-A(1A – 1B) (단, A≠B)을 사용해요! [cite: 137]
- 분자 또는 분모가 분수식일 때 (번분수식): 분자에 분모의 역수를 곱하여 계산해요. (A/B)(C/D) = AB × DC [cite: 138]
- xn + 1/xn 값 구하기: 주어진 등식(x2+ax+1=0 등)의 양변을 x로 나누어 x + 1/x 또는 x – 1/x 값을 구한 후 곱셈 공식을 활용해요. [cite: 142]
📚 개념정리
안녕, 수학 해결사 친구들! 🕵️ 유리식 계산이 가끔 복잡하게 느껴질 때가 있죠? 하지만 걱정 마세요! 몇 가지 특별한 유형의 유리식은 그 모양에 따라 간단하게 변형해서 계산하는 비법이 있답니다. 오늘은 그 비법들을 함께 파헤쳐 볼게요! 🚀
1. 분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같을 때 🧐
분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같은 유리식을 계산할 때는, 먼저 분자를 분모로 직접 나누어서 몫과 나머지 형태로 바꿔주는 것이 좋아요. 이렇게 하면 분자의 차수가 분모의 차수보다 작아지도록 만들 수 있어서 계산이 훨씬 편해진답니다. [cite: 134]
예를 들어, x + 3x + x + 2x – 1을 계산해 볼게요. (원본: (x+2)/x + (x+1)/(x-2))
첫 번째 항: (x + 3) ÷ x = 1 (몫) … 3 (나머지) ➡️ 1 + 3x
두 번째 항: (x + 2) ÷ (x – 1). x+2 = 1(x-1) + 3 ➡️ 1 + 3x – 1
따라서 주어진 식은 (1 + 3x) + (1 + 3x – 1) = 2 + 3x + 3x – 1 처럼 변형해서 계산할 수 있어요.
2. 네 개 이상의 유리식의 합 또는 차를 구할 때 ➕➖
유리식이 여러 개 더해져 있거나 빼져 있을 때는, 무작정 앞에서부터 계산하는 것보다 계산 과정이 간단해지도록 두 개씩 적절히 짝을 지어 묶어서 계산하는 것이 좋아요. [cite: 135]
예를 들어, 1x + 1x+2 – 1x+4 – 1x+6 같은 식은
(1x – 1x+4) + (1x+2 – 1x+6) 처럼 묶으면 통분하기 더 편해질 수 있어요.
3. 분모가 두 개 이상 인수의 곱일 때: 부분분수 변형! 🪄
분모가 A × B 또는 A × B × C처럼 두 개 이상의 인수의 곱으로 되어 있을 때는 ‘부분분수’라는 아주 유용한 기술로 식을 변형할 수 있어요. 이 기술을 사용하면 복잡한 분수식을 여러 개의 간단한 분수식의 합이나 차로 바꿀 수 있답니다!
가장 많이 사용되는 공식은 바로 이것이에요: (단, A ≠ B)
1AB = 1B-A (1A – 1B) [cite: 137]
예를 들어, 1x(x+2)을 부분분수로 변형해 볼게요.
여기서 A = x, B = x+2라고 생각하면, B – A = (x+2) – x = 2예요.
따라서 1x(x+2) = 12 (1x – 1x+2) 이렇게 변형된답니다! 정말 편리하죠? [cite: 137]
4. 분자 또는 분모가 분수식일 때: 번분수식 계산! 🥞
분수 안에 또 분수가 들어있는 형태의 식을 ‘번분수식’이라고 해요. 이런 식은 분자에 분모의 역수를 곱하는 방법으로 간단하게 만들 수 있어요. [cite: 138] 마치 분수의 나눗셈처럼요!
A/BC/D = AB ÷ CD = AB × DC = ADBC
예를 들어, 2/xx/(x+1)을 계산해 볼게요. (원본 예시와 동일)
= 2x × x+1x = 2(x+1)x2 [cite: 138]
5. xn + 1/xn 형태의 값 구하기 💰
만약 문제에서 x2 + ax + 1 = 0 또는 x2 + ax – 1 = 0 같은 등식이 주어지고, xn + 1/xn (n은 자연수)의 값을 구하라고 한다면, 주어진 등식의 양변을 x로 나누어 x + 1/x 또는 x – 1/x의 값을 먼저 구하세요. 그 다음에는 곱셈 공식의 변형을 이용해서 원하는 값을 찾을 수 있답니다! [cite: 142]
자주 사용되는 곱셈 공식 변형은 다음과 같아요: [cite: 143]
- x2 + 1x2 = (x + 1x)2 – 2 = (x – 1x)2 + 2
- x3 + 1x3 = (x + 1x)3 – 3(x + 1x)
- x3 – 1x3 = (x – 1x)3 + 3(x – 1x)
연산 PDF 링크 삽입 위치
✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 다음 식을 부분분수로 변형하시오.
(1) 2(x+1)(x+3)
(2) 3x(x-3)
(원본 문제: (1) 3/((x+2)(x+5)) (2) 2/(x(x-4)))💡 풀이 1:
부분분수 공식 1AB = 1B-A(1A – 1B)을 사용해 봅시다!
(1) 2(x+1)(x+3)
여기서 A = x+1, B = x+3으로 생각하면, B-A = (x+3) – (x+1) = 2예요.
= 2 × 1(x+1)(x+3) = 2 × 12 (1x+1 – 1x+3)
= 1x+1 – 1x+3
(2) 3x(x-3)
여기서 A = x, B = x-3으로 생각할 수도 있지만, 보통 B-A가 양수가 되도록 B를 더 큰 쪽으로 잡는 것이 편해요. 하지만 이 경우엔 (x-3) – x = -3이 되죠.
만약 A = x-3, B = x로 보면 B-A = x – (x-3) = 3이 됩니다. 분모의 순서를 바꿔 3(x-3)x으로 보고 풀어볼게요.
= 3 × 1(x-3)x = 3 × 1x-(x-3) (1x-3 – 1x)
= 3 × 13 (1x-3 – 1x) = 1x-3 – 1x
또는, 원래 식 3x(x-3) 에서 A=x, B=x-3 으로 하면 B-A = -3.
= 3 × 1-3 (1x – 1x-3) = -1 × (1x – 1x-3) = 1x-3 – 1x. 결과는 같아요!
✏️ 문제 2: 다음 번분수식을 간단히 하시오.
(1) 1/(x-1)x
(2) x+11/x + 1
(원본 문제: (1) (1/x)/(x+1) (2) x/ (1/x -1) )💡 풀이 2:
(1) 1/(x-1)x
분모 x는 x1과 같다고 생각할 수 있죠.
= 1x-1 ÷ x1 = 1x-1 × 1x = 1x(x-1)
(2) x+11/x + 1
먼저 분모를 통분해서 하나의 분수로 만들어 볼게요.
1/x + 1 = 1x + xx = 1+xx
이제 주어진 식은 x+1(1+x)/x 이 됩니다. 분자 x+1은 x+11과 같아요.
= x+11 ÷ 1+xx = x+11 × x1+x
(x+1)이 약분되네요!
= 11 × x1 = x
연산 PDF 링크 삽입 위치
💡 참고
오늘 배운 특수한 유리식 계산법들, 정말 유용하죠? 몇 가지 추가 팁을 드릴게요!
- 부분분수 변형의 의미: 1AB = 1B-A(1A – 1B) 공식은 복잡한 분수를 두 개의 간단한 분수의 차로 ‘분해’한다고 해서 부분분수 ‘분해’라고도 불러요. 이 방법은 나중에 수열의 합을 구할 때도 아주 유용하게 쓰인답니다!
- 번분수식 (繁分數式): 분자나 분모에 또 다른 분수식을 포함한 유리식을 번분수식이라고 해요. ‘번거로운 분수식’이라고 생각하면 기억하기 쉽겠죠? [cite: 141] 번분수식을 간단히 할 때는 분모 분자에 똑같은 식을 곱해서 분모의 분수를 없애는 방법도 유용해요!
다양한 유형의 유리식 계산 문제를 풀어보면서 오늘 배운 비법들을 익숙하게 만들어 보세요! 💪