207 유리식의 곱셈과 나눗셈 ✖️➗: 약분 먼저, 계산은 나중에!
⭐ 핵심만정리
유리식의 곱셈과 나눗셈, 분수 계산과 똑같아요! 이것만 기억하면 문제없어요! 🚀
- 곱셈: 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 곱하면 끝!
AB × CD = A × CB × D (단, B와 D는 0이 아니에요!) - 나눗셈: 나누는 식의 분자와 분모를 뒤집어서(역수를 만들어서) 곱해주면 돼요!
AB ÷ CD = AB × DC = A × DB × C (단, B, C, D는 0이 아니에요!) - 꿀팁🍯: 계산하기 전에 각 유리식의 분자, 분모를 인수분해해서 약분할 수 있는 건 먼저 약분하면 계산이 훨씬 간단해져요!
📚 개념정리
안녕, 유리식 마법사 친구들! ✨ 오늘은 유리식을 곱하고 나누는 마법을 배워볼 거예요. 유리식의 덧셈, 뺄셈이 분수 계산과 비슷했던 것처럼, 곱셈과 나눗셈도 아주 익숙한 방법으로 할 수 있답니다! 바로 시작해 볼까요?
유리식의 곱셈: 분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리!
유리식의 곱셈은 정말 간단해요. 마치 분수끼리 곱하는 것처럼, 분모는 분모끼리 곱하고, 분자는 분자끼리 곱해주면 된답니다.
네 다항식 A, B, C, D에 대하여 (단, 분모 B와 D는 0이 아니에요!),
AB × CD = A × CB × D [cite: 126]
유리식의 나눗셈: 역수를 곱하는 마법! 🔄
유리식의 나눗셈도 분수의 나눗셈과 똑같아요. 나누는 식의 분자와 분모를 서로 바꿔서 역수를 만든 다음, 곱셈으로 바꿔서 계산하면 된답니다.
네 다항식 A, B, C, D에 대하여 (단, 분모 B와 D, 그리고 나누는 식의 분자 C는 0이 아니에요!),
AB ÷ CD = AB × DC = A × DB × C [cite: 126]
계산 전 ‘약분’은 센스! 👍
유리식의 곱셈과 나눗셈을 할 때, 무작정 곱하거나 나누기 전에 각 유리식의 분자와 분모를 인수분해하는 것이 아주 중요해요! [cite: 128] 인수분해를 하고 나면 분자와 분모 사이에 공통으로 약분할 수 있는 부분이 보일 거예요. 이 약분을 먼저 하고 계산하면 식이 훨씬 간단해져서 계산 실수를 줄일 수 있답니다. [cite: 128]
✨ 예시: 약분을 이용한 유리식 계산
1. 곱셈 예시: x – 2x – 1 × x2 – 1x – 3
먼저 x2 – 1을 인수분해하면 (x – 1)(x + 1)이죠.
= x – 2x – 1 × (x – 1)(x + 1)x – 3
여기서 (x – 1)이 분자와 분모에 공통으로 있으니 약분! 🌬️
= x – 21 × 1(x + 1)x – 3
= (x – 2)(x + 1)x – 3
2. 나눗셈 예시: x2 – 2x – 3x + 3 ÷ x + 1x – 4
먼저 x2 – 2x – 3을 인수분해하면 (x – 3)(x + 1)이에요. 그리고 나눗셈을 곱셈으로 바꿔요.
= (x – 3)(x + 1)x + 3 × x – 4x + 1
여기서 (x + 1)이 분자와 분모에 공통으로 있으니 약분! 💨
= (x – 3)x + 3 × x – 41
= (x – 3)(x – 4)x + 3
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 식을 계산하시오.
(1) 2x – 6x2 + x × x + 1x2 – 9
(2) x + 4x2 – 4x + 3 ÷ x2 + 3x – 4x – 1
(원본 문제: (1) (2x-4)/(x²-x) × (x-1)/(x²-4) (2) (x+5)/(x²-5x+6) ÷ (x²+4x-5)/(x-2) )💡 풀이:
(1) 곱셈 문제 풀이
먼저 각 분자와 분모를 인수분해 해볼게요.
- 2x – 6 = 2(x – 3)
- x2 + x = x(x + 1)
- x + 1 (그대로)
- x2 – 9 = (x – 3)(x + 3)
이제 식에 대입하고 약분할 부분을 찾아봅시다.
2(x – 3)x(x + 1) × x + 1(x – 3)(x + 3)
(x – 3)과 (x + 1)이 약분되네요!
= 2x × 1x + 3 = 2x(x + 3)
(2) 나눗셈 문제 풀이
먼저 각 분자와 분모를 인수분해하고, 나눗셈을 곱셈으로 바꿀게요.
- x + 4 (그대로)
- x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)
- x2 + 3x – 4 = (x + 4)(x – 1)
- x – 1 (그대로)
식에 대입하고 나눗셈을 곱셈으로 바꾸면:
x + 4(x – 1)(x – 3) × x – 1(x + 4)(x – 1)
(x + 4)와 하나의 (x – 1)이 약분되네요!
= 1x – 3 × 1x – 1 = 1(x – 3)(x – 1)
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💡 참고
유리식의 덧셈과 곱셈에서는 수의 연산에서처럼 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 모두 성립해요! [cite: 129]
- 교환법칙 (곱셈): A × B = B × A
- 결합법칙 (곱셈): (A × B) × C = A × (B × C)
- 분배법칙: A × (B + C) = A × B + A × C
(여기서 A, B, C는 유리식을 의미해요)
이런 성질들 덕분에 유리식의 사칙연산은 우리가 익히 알고 있는 유리수의 사칙연산과 같은 방법으로 할 수 있답니다. [cite: 130] 복잡해 보이는 식도 차근차근 규칙에 따라 풀면 어렵지 않아요! 😉