206 유리식의 덧셈과 뺄셈 ➕➖: 통분만 하면 끝!
⭐ 핵심만정리
유리식의 덧셈과 뺄셈, 분수 계산과 똑같아요! 이것만 기억하면 문제 해결! 🔑
- 분모가 같을 때: 분모는 그대로 두고, 분자끼리 더하거나 빼면 돼요!
- 덧셈: AC + BC = A + BC [cite: 121]
- 뺄셈: AC – BC = A – BC [cite: 122]
- 분모가 다를 때: 먼저 분모를 똑같이 만들어주는 ‘통분’을 한 다음, 분자끼리 더하거나 빼면 된답니다! [cite: 122]
핵심은 뭐다? 통분! 통분만 잘하면 유리식의 덧셈과 뺄셈은 식은 죽 먹기예요! 🥣
📚 개념정리
안녕, 유리식 탐험가 친구들! 🚀 지난 시간에 유리식의 기본적인 성질과 통분, 약분에 대해 배웠죠? 오늘은 그 지식을 바탕으로 유리식끼리 더하고 빼는 방법을 알아볼 거예요. 우리가 초등학교 때 배웠던 분수의 덧셈, 뺄셈과 원리가 똑같아서 아주 쉽게 느껴질 거예요! 😉
분모가 같을 때: 정말 간단해요!
만약 더하거나 빼려는 유리식들의 분모가 이미 같다면? 정말 운이 좋은 거예요! 🎉 분모는 그대로 두고, 분자들끼리만 덧셈 또는 뺄셈을 해주면 끝이랍니다.
세 다항식 A, B, C (단, C는 0이 아니에요!)에 대하여,
- 덧셈: AC + BC = A + BC [cite: 121]
- 뺄셈: AC – BC = A – BC [cite: 122]
분모가 다를 때: ‘통분’이라는 마법을 사용해요! ✨
분모가 서로 다른 유리식들을 더하거나 빼야 할 때는 어떻게 할까요? 바로 ‘통분’이라는 마법 도구를 사용하면 돼요! [cite: 122] 통분은 각 유리식의 분모를 똑같이 만들어주는 과정이에요. 분모를 같게 만든 후에는 위에서 배운 것처럼 분자끼리 계산하면 된답니다.
✨ 예시: 분모가 다른 유리식 계산하기
1. 덧셈 예시: 1x – 1 + 2x – 2
두 분모 (x – 1)과 (x – 2)의 최소공배수는 (x – 1)(x – 2)예요. 이 분모로 통분해 볼게요.
= 1(x – 2)(x – 1)(x – 2) + 2(x – 1)(x – 1)(x – 2)
= (x – 2) + 2(x – 1)(x – 1)(x – 2)
= x – 2 + 2x – 2(x – 1)(x – 2)
= 3x – 4(x – 1)(x – 2) [cite: 123]
2. 뺄셈 예시: 3x + 1 – 2x – 1
두 분모 (x + 1)과 (x – 1)의 최소공배수는 (x + 1)(x – 1)이에요.
= 3(x – 1)(x + 1)(x – 1) – 2(x + 1)(x + 1)(x – 1)
= 3(x – 1) – 2(x + 1)(x + 1)(x – 1)
= 3x – 3 – 2x – 2(x + 1)(x – 1)
= x – 5(x + 1)(x – 1) [cite: 123]
통분할 때는 각 분모를 인수분해해서 최소공배수를 찾는 것이 중요해요! 그 다음에는 분자와 분모에 필요한 식을 곱해주면 된답니다.
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 식을 계산하시오.
x – 2x + 3 + 2x – 1x2 + x – 6
(원본 문제: (1) (x-3)/(x+2) + (2x-5)/(x²+x-2) )💡 풀이:
먼저 두 번째 유리식의 분모를 인수분해 해볼까요?
x2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) (곱해서 -6, 더해서 1이 되는 두 수는 3과 -2)
이제 주어진 식은 이렇게 변해요:
x – 2x + 3 + 2x – 1(x + 3)(x – 2)
첫 번째 유리식의 분모를 (x + 3)(x – 2)로 통분해야겠죠? 분자와 분모에 (x – 2)를 곱해줍시다.
= (x – 2)(x – 2)(x + 3)(x – 2) + 2x – 1(x + 3)(x – 2)
= (x2 – 4x + 4) + (2x – 1)(x + 3)(x – 2)
이제 분자를 계산하면:
= x2 – 4x + 4 + 2x – 1(x + 3)(x – 2)
= x2 – 2x + 3(x + 3)(x – 2)
분자 x2 – 2x + 3은 더 이상 인수분해가 되지 않으므로, 이것이 최종 답이 됩니다! 😄
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💡 참고
유리식의 덧셈에서도 우리가 수의 덧셈에서 배웠던 교환법칙과 결합법칙이 성립한다는 사실, 알고 있나요? [cite: 121]
- 교환법칙: AC + BD = BD + AC (더하는 순서를 바꿔도 결과는 같아요!)
- 결합법칙: (AC + BD) + EF = AC + (BD + EF) (어떤 것을 먼저 더하든 결과는 같아요!)
이런 성질들 덕분에 유리식 계산을 좀 더 유연하게 할 수 있답니다! 😉