⭐ 핵심만정리

유리식도 우리가 아는 분수(유리수)와 비슷한 성질을 가지고 있어요! 바로 이것만 기억하세요! 💡

• 세 다항식 A, B, C에 대하여 (단, B와 C는 0이 아니에요!)
  • 성질 1: 유리식 AB의 분자와 분모에 똑같은 다항식 C를 곱해도 값은 변하지 않아요!
    AB = A × CB × C [cite: 103]
  • 성질 2: 유리식 AB의 분자와 분모를 똑같은 다항식 C로 나누어도 값은 변하지 않아요!
    AB = A ÷ CB ÷ C [cite: 103]
• 통분이란? 이 성질 ①을 이용해서 여러 유리식의 분모를 똑같이 만들어주는 작업이에요. [cite: 103]
• 약분이란? 이 성질 ②를 이용해서 분자와 분모의 공통된 부분을 나누어 식을 간단하게 만드는 작업이랍니다. [cite: 104]

📚 개념정리

안녕, 수학 친구들! 👋 유리식이라는 새로운 친구를 만났으니, 이제 이 친구가 어떤 성격을 가졌는지 알아볼 차례예요. 우리가 잘 아는 ‘분수’의 성질과 아주 비슷해서 금방 친해질 수 있을 거예요! 😊

유리식의 기본적인 성질: 분수와 똑같네!

유리수의 분자, 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 그 값이 변하지 않는 것처럼, 유리식도 비슷한 성질을 가져요. [cite: 108, 109] 세 다항식 A, B, C가 있고, 분모가 되는 B와 곱하거나 나누는 C는 0이 아니라고 약속할게요. 그러면 다음과 같은 성질이 성립해요.

• ☝️ 분자, 분모에 같은 다항식 곱하기:
  유리식 AB의 분자와 분모에 똑같은 다항식 C를 곱해도 그 값은 변하지 않아요. [cite: 103]
  AB = A × CB × C
• ✌️ 분자, 분모를 같은 다항식으로 나누기:
  유리식 AB의 분자와 분모를 똑같은 다항식 C로 나누어도 그 값은 변하지 않아요. [cite: 103]
  AB = A ÷ CB ÷ C

이 두 가지 성질 덕분에 우리는 유리식을 가지고 ‘통분’도 하고 ‘약분’도 할 수 있답니다! [cite: 110]

통분과 약분: 유리식을 다루는 기술!

• 통분 (분모를 같게 만들기):
  여러 개의 유리식들의 분모를 위에서 배운 성질 ①을 이용해서 똑같이 만들어주는 것을 ‘통분한다’고 해요. [cite: 103] 보통 분모들의 최소공배수를 공통분모로 만들죠. [cite: 117]

  예를 들어, 1x 과 2xx+1 를 통분해 볼까요? [cite: 110]
  두 분모 x와 x+1의 최소공배수는 x(x+1)이에요. [cite: 111]
  1x = 1 × (x+1)x × (x+1) = x+1x(x+1)
  2xx+1 = 2x × x(x+1) × x = 2x²x(x+1) [cite: 112]

• 약분 (간단하게 만들기):
  유리식의 분자와 분모에 공통으로 들어있는 약수(공약수)가 있을 때, 위에서 배운 성질 ②를 이용해서 분자와 분모를 그 공약수로 나누어 식을 간단하게 만드는 것을 ‘약분한다’고 해요. [cite: 104] 보통 분자와 분모의 최대공약수로 나누죠. [cite: 118]

  예를 들어, x² – 1x³ + 1을 약분해 볼게요. [cite: 112]
  먼저 분자와 분모를 인수분해해요:
  분자: x² – 1 = (x+1)(x-1)
  분모: x³ + 1 = (x+1)(x²-x+1)
  공통된 약수는 (x+1)이네요! 이걸로 나누면:
  (x+1)(x-1)(x+1)(x²-x+1) = x-1x²-x+1 [cite: 113]

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✅ 개념확인

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💡 참고