2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 3점 난이도 ★★★☆☆ 출제영역: 삼각함수

😰 “cosα + sinα = 1/2 를 제곱했는데 sin2α 처리를 잘못했어요”

→ cosα + sinα 같은 합의 조건이 주어지면, 양변을 제곱해서 sin²α + cos²α = 1 과 2sinαcosα = sin2α 를 활용하는 게 정석이에요.

① 양변 제곱: (cosα + sinα)² = cos²α + 2sinαcosα + sin²α = 1 + sin2α. 이 변환을 정확히 쓰세요.

② sinα < 0 이라는 조건으로 α가 어느 사분면인지 파악하면, cosα의 부호를 결정할 수 있어요. 부호 결정이 답을 가릅니다!

💪 이 제곱 활용법만 익히면 14번 삼각함수 방정식(4점)이나 18번 코사인법칙(3점)까지 자신 있게 도전할 수 있습니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. “합이 주어지면 제곱” 전략

cosα + sinα = k 가 주어지면, 양변을 제곱하여 1 + 2sinαcosα = k² 를 얻을 수 있어요.

여기서 sinαcosα 값(= sin2α / 2)을 구한 뒤, cosα – sinα 의 값도 구할 수 있어요. (cosα – sinα)² = 1 – 2sinαcosα 를 이용하면 돼요.

Point 2. sinα < 0 조건으로 사분면·부호 결정

cosα + sinα = 1/2 > 0 이고 sinα < 0 이면, cosα > 0 이어야 해요. 즉 α는 제4사분면! 이 조건으로 cosα – sinα 의 부호(양수)를 결정할 수 있어요.

Point 3. 풀이 순서

① (cosα + sinα)² 전개로 sinαcosα 구하기 → ② (cosα – sinα)² 계산 → ③ sinα < 0 조건으로 부호 결정 → ④ 연립하여 cosα 구하기

STEP 1. 양변 제곱으로 sinαcosα 구하기

cosα + sinα = 1/2 의 양변을 제곱하면

cos²α + 2sinαcosα + sin²α = 1/4 이므로 1 + 2sinαcosα = 1/4

따라서 sinαcosα = -3/8 을 구할 수 있어요.

STEP 2. cosα – sinα 구하기

(cosα – sinα)² = 1 – 2sinαcosα 를 이용하여 cosα – sinα 의 값을 구합니다.

sinα < 0, cosα > 0 이므로 cosα – sinα > 0 임을 이용해 부호를 확정해요.

STEP 3. 연립하여 cosα 계산

cosα + sinα 와 cosα – sinα 두 식을 더하면 2cosα 를 구할 수 있어요.

정답: ①

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

제곱 전개 시 2sinαcosα 빠뜨리기: (cosα + sinα)² = cos²α + 2sinαcosα + sin²α 에요. 가운데 항을 빼먹으면 sin2α 값이 완전히 달라져요.
부호 결정 실수: (cosα – sinα)² 에서 제곱근을 씌울 때 ±가 나오는데, sinα < 0 조건을 이용해 부호를 확정해야 해요. 부호를 틀리면 cosα 값이 반대로 나와요!
sin²α + cos²α = 1 까먹기: 이 항등식은 삼각함수 문제의 핵심 도구예요. “제곱의 합은 1” — 이것만 기억하면 양변 제곱 전략이 바로 떠올라요.
검산: 구한 cosα 와 sinα 를 다시 합해서 1/2이 되는지, sinα < 0인지 확인하면 확실합니다.