2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 3점 난이도 ★★★☆☆ 출제영역: 적분

😰 “그래프 모양은 알겠는데 적분 구간을 어디서 어디까지 잡아야 할지 헷갈려요”

→ 넓이 문제에서 가장 많이 틀리는 포인트가 바로 적분 구간 설정이에요. 그래프를 그려보지 않고 식만 보면 위아래 관계를 잘못 잡기 쉬워요.

① 먼저 그래프 개형을 간단히 스케치하세요. y=x²은 포물선, y=x-2는 직선이에요. 두 곡선의 위아래 관계가 구간마다 바뀔 수 있으니 꼭 확인!

② 둘러싸인 영역이 y축, 곡선, 직선, x=2 등 여러 경계로 이루어져 있으면 구간을 나눠서 각각 적분한 뒤 더하세요.

💪 이 넓이 구하기 감각만 잡으면 11번 속도·이동거리(4점)나 13번 접선 도형 넓이(4점)까지 도전할 수 있습니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 그래프 스케치로 영역 파악

y=x²(포물선)과 y=x-2(직선), 그리고 y축(x=0)과 x=2로 둘러싸인 영역을 파악해야 해요.

0 ≤ x ≤ 2 구간에서 어느 함수가 위에 있는지 확인하는 게 핵심이에요. 위에 있는 함수에서 아래 함수를 빼고 적분합니다.

Point 2. 구간 분할이 필요한지 판단

y=x-2는 x=2일 때 0이고, x=0일 때 -2예요. 구간 내에서 두 함수의 위아래 관계가 바뀌면 구간을 나눠서 적분해야 해요. 그래프를 보고 판단하세요.

Point 3. 풀이 순서

① 그래프 스케치 → ② 적분 구간과 위아래 관계 확인 → ③ ∫(위 함수 – 아래 함수)dx 계산 → ④ 최종 넓이

STEP 1. 영역 파악

해설지에 따르면, 0 ≤ x ≤ 2 구간에서 y=x²이 y=x-2 보다 위에 있으므로 (x² ≥ x-2)

넓이는 ∫₀²(x² – (x-2))dx 형태로 계산합니다.

STEP 2. 정적분 계산

피적분함수를 정리한 뒤, 각 항을 적분하고 구간 [0, 2]에서 값을 대입합니다.

x³/3, x²/2, 2x 등의 부정적분을 구한 뒤 위 끝 − 아래 끝으로 정적분 값을 얻어요.

STEP 3. 최종 답

정답: ④

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

위아래 관계 뒤바뀜: (위 함수) – (아래 함수)를 반대로 빼면 넓이가 음수가 나와요. 반드시 그래프를 스케치해서 확인하세요!
적분 구간 실수: 문제에서 “y축”이라고 했으면 x=0이 시작점이에요. “y축”을 놓치고 교점만 구해서 다른 구간으로 적분하면 안 돼요.
분수 계산 주의: x³/3 에 x=2를 넣으면 8/3이에요. 분수끼리의 덧셈·뺄셈에서 통분 실수가 자주 나오니 차분하게 계산하세요.
넓이는 항상 양수: 계산 결과가 음수로 나왔다면 위아래 관계를 잘못 잡은 거예요. 넓이가 음수일 수는 없으니 다시 확인!