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두 점을 각각 대칭이동과 평행이동 시킨 후, 두 점을 잇는 직선과 또 다른 직선이 수직이 될 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 y축에 대칭이동한 점 P의 좌표를 구합니다.
2. 점 B를 y축 방향으로 -5만큼 평행이동한 점 Q의 좌표를 k를 포함한 식으로 구합니다.
3. 두 직선 BP와 PQ가 서로 수직이므로, **두 직선의 기울기의 곱이 -1** 입니다.
4. 직선 BP의 기울기와 직선 PQ의 기울기를 각각 구합니다.
5. 두 기울기의 곱이 -1이라는 등식을 세우면 k에 대한 이차방정식이 나오며, 근과 계수의 관계를 이용해 모든 k값의 곱을 구합니다.
주의할 점:
수직 조건을 이용해 기울기에 대한 방정식을 세우는 것이 핵심적인 풀이 과정입니다.
”
이동 후 두 직선의 수직 조건
“
대칭이동과 평행이동으로 만들어진 세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 A를 y=x에 대해 대칭이동한 점 B의 좌표를 구합니다.
2. 점 B를 주어진 규칙대로 평행이동한 점 C의 좌표를 미지수 k를 포함한 식으로 나타냅니다.
3. 세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로, **직선 AB의 기울기와 직선 BC의 기울기가 같다**는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀어 k값을 구합니다.
주의할 점:
세 점의 공선 조건(기울기가 같다)을 정확하게 적용하는 것이 핵심입니다.
”
연속 이동 후 세 점의 공선 조건
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연속적인 이동으로 만들어진 세 점으로 구성된 삼각형의 무게중심을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원래 점 P(5,1)의 좌표를 알고 있습니다.
2. 점 P를 평행이동한 점 Q의 좌표를 구합니다.
3. 점 Q를 y=x에 대해 대칭이동한 점 R의 좌표를 구합니다.
4. 이제 세 꼭짓점 P, Q, R의 좌표를 모두 알았으므로, 무게중심 공식을 이용해 G(a,b)를 구합니다.
주의할 점:
각 단계별로 이동된 점의 좌표를 정확하게 계산하는 것이 중요합니다.
”
연속 이동 후 무게중심 구하기
“
직선의 평행이동과 대칭이동을 순차적으로 적용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (-1,0)을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식을 세웁니다.
2. 이 직선을 x축 방향으로 3만큼 평행이동합니다. (x 대신 x-3 대입)
3. 2단계에서 얻은 직선을 y축에 대해 대칭이동합니다. (x 대신 -x 대입)
4. 최종적으로 얻은 직선이 점 (1,1)을 지나므로, 좌표를 대입하여 기울기 m값을 구합니다.
주의할 점:
도형의 이동 규칙(평행이동은 부호 반대, 대칭이동은 해당 문자 변경)을 정확히 적용해야 합니다.
”
직선의 평행/대칭이동과 특정 점 통과
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평행이동과 대칭이동을 거친 점이 직선 위에 있을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (-4,2)를 주어진 규칙에 따라 평행이동한 점의 좌표를 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
2. 1단계에서 구한 점을 y=x에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다.
3. 이 최종 점이 직선 2x-y+1=0 위에 있으므로, 좌표를 직선의 방정식에 대입합니다.
4. a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
이동의 순서와 각 이동에 대한 규칙을 정확히 적용하는 것이 중요합니다.
”
평행/대칭이동 후 직선 위의 점 조건
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이동 후의 점이 주어졌을 때, 원래 점의 좌표를 역추적하는 문제입니다.
접근법:
1. 주어진 이동을 역순으로, 그리고 반대 방향으로 적용하면 원래 점을 찾을 수 있습니다.
2. 최종점 (3,1)에서 시작합니다.
3. ‘x축 2, y축 -2 평행이동’의 역이동인 ‘x축 -2, y축 +2 평행이동’을 적용합니다.
4. 3단계에서 얻은 점을 ‘y=x 대칭’의 역이동인 ‘y=x 대칭’을 적용합니다. (y=x 대칭의 역은 자기 자신입니다.)
5. 최종적으로 얻은 점이 원래 점 P의 좌표입니다.
주의할 점:
역추적할 때는 순서와 방향을 모두 반대로 해야 합니다. (A→B→C 의 역은 C→B→A)
”
이동 후의 점에서 원래 점 역추적
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대칭이동과 평행이동이 순차적으로 적용될 때, 점의 좌표를 추적하는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (-5,4)를 원점에 대해 대칭이동한 점의 좌표를 구합니다.
2. 1단계에서 구한 점을 x축 방향으로 a, y축 방향으로 b만큼 평행이동한 점의 좌표를 구합니다.
3. 이 최종 점의 좌표가 (2,7)과 같다고 놓고, x, y좌표를 각각 비교하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
문제에서 제시된 이동의 순서를 정확하게 지켜야 합니다. 이동의 종류(대칭, 평행)에 따른 좌표 변환 규칙을 혼동하지 않도록 주의하세요.
”
대칭이동과 평행이동 순차 적용
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대칭이동한 포물선이 직선에 접할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 먼저 주어진 포물선을 원점에 대해 대칭이동한 새로운 포물선의 방정식을 구합니다.
2. 이 포물선과 직선 y=ax+2가 접하므로, 두 식을 연립하여 x에 대한 이차방정식을 만듭니다.
3. 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로, 판별식 D=0 이라는 등식을 세웁니다.
4. a에 대한 이차방정식이 나오며, 근과 계수의 관계를 이용해 ‘모든 a의 값의 합’을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동, 포물선과 직선의 위치 관계(접선) 등 여러 개념이 결합된 문제입니다. 판별식 D=0 조건을 정확히 적용해야 합니다.
”
대칭이동한 포물선이 직선에 접할 조건
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578번 문제와 동일하게, 포물선을 연속적으로 대칭이동시킨 후 꼭짓점의 위치를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (포물선 이동) 주어진 포물선을 원점에 대해 대칭이동하고, 그 결과를 다시 x축에 대해 대칭이동하여 최종 포물선의 방정식을 구합니다.
2. (꼭짓점 찾기) 최종 포물선의 방정식을 표준형으로 변환하여 꼭짓점의 좌표를 찾습니다.
3. 이 꼭짓점이 직선 y=ax+7 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 a값을 구합니다.
주의할 점:
대칭이동 순서(원점 -> x축)를 정확히 지켜야 합니다. 꼭짓점을 먼저 구해서 이동시키는 방법도 유효합니다.
”
포물선 연속 이동과 꼭짓점이 직선 위
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포물선의 연속적인 대칭이동 후 꼭짓점의 좌표를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. (꼭짓점의 이동) 원래 포물선의 꼭짓점 좌표를 먼저 구하지 말고, 이동 규칙을 먼저 분석합니다. 점 (x,y)를 원점 대칭하면 (-x,-y), 이를 다시 y축 대칭하면 (x,-y)가 됩니다.
2. **(방정식의 이동) 포물선 y=x²-2ax+b 를 원점 대칭하면 -y=(-x)²-2a(-x)+b 가 되고, 이를 다시 y축 대칭하면 -y=x²-2ax+b 가 됩니다.
3. 최종적으로 이동된 포물선 y=-x²+2ax-b 의 꼭짓점 좌표를 구하고, 이것이 (2,-1)과 같다고 놓고 a, b값을 찾습니다.
주의할 점:
포물선 전체를 이동시키는 것보다, 꼭짓점만 이동시키는 것이 계산이 더 간단할 수 있습니다. 두 가지 방법 모두 가능합니다.
”
포물선의 연속적인 대칭이동과 꼭짓점
