198 역함수의 그래프 📈: 직선 y=x 대칭의 비밀!
⭐ 핵심만정리
함수 y = f(x)와 그 역함수 y = f-1(x)의 그래프는 아주 특별한 관계가 있어요!
- 바로바로~ 직선 y = x에 대하여 서로 대칭이랍니다! [cite: 27]
- 만약 점 (a, b)가 y = f(x) 그래프 위의 점이라면, 점 (b, a)는 반드시 y = f-1(x) 그래프 위의 점이 돼요. [cite: 29]
이것만 기억하면 역함수 그래프 문제도 두렵지 않아요! 😉
📚 개념정리
안녕, 수학 친구들! 👋 오늘은 함수와 그 역함수의 그래프가 어떤 아름다운 관계를 가지고 있는지 함께 살펴볼 거예요. 마치 거울을 보는 것처럼 서로를 비추는 특별한 사이랍니다! 바로 직선 y = x라는 마법의 거울을 통해서 말이죠! [cite: 27]
함수 y = f(x)의 역함수 y = f-1(x)가 존재할 때, 이 두 함수의 그래프는 항상 직선 y = x에 대하여 대칭이에요. [cite: 27] 이게 무슨 뜻일까요?
만약 어떤 점 (a, b)가 함수 y = f(x)의 그래프 위에 있다면, b = f(a)가 성립하겠죠? [cite: 28] 역함수의 정의에 따라서 이건 a = f-1(b)와 똑같은 말이에요. [cite: 28] 이 말은 곧, x좌표가 b이고 y좌표가 a인 점, 즉 점 (b, a)가 바로 역함수 y = f-1(x)의 그래프 위에 있다는 뜻이랍니다! [cite: 29]
점 (a, b)와 점 (b, a)는 x좌표와 y좌표가 서로 바뀐 관계죠? 이런 점들은 항상 직선 y = x에 대하여 서로 대칭인 위치에 있어요. [cite: 30] 그래서 원래 함수의 그래프와 역함수의 그래프도 직선 y = x에 대해 데칼코마니처럼 정확히 대칭을 이루는 거랍니다! 🎨
✨ 예시: f(x) = x2 (x ≥ 0)과 그 역함수의 그래프
함수 f(x) = x2 (단, x ≥ 0)을 생각해 볼게요. 이 함수의 정의역은 {x | x ≥ 0}이고, 치역도 {y | y ≥ 0}이에요. 이 함수는 일대일 대응이므로 역함수가 존재해요. [cite: 32]
역함수를 구해보면 y = x2에서 x = √y (왜냐하면 x ≥ 0이니까요!). x와 y를 바꾸면 y = √x가 바로 역함수 f-1(x) = √x (단, x ≥ 0)입니다.
이 두 함수의 그래프를 그려보면 직선 y = x에 대해 정확히 대칭인 것을 확인할 수 있어요! [cite: 33]
y = x2 (x ≥ 0) 그래프와
y = √x (x ≥ 0) 그래프가
y = x 직선에 대해 대칭인 모습
예를 들어, 점 (2, 4)는 y = x2 위의 점이죠? 그럼 점 (4, 2)는 y = √x 위의 점이 된답니다!
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✅ 개념확인
✏️ 문제 1: 함수 f(x) = x + 3의 역함수의 그래프를 그리고, 원래 함수와 역함수의 그래프가 직선 y=x에 대해 대칭임을 확인해보세요.
💡 풀이 1:
1. 원래 함수 f(x) = x + 3 그래프 그리기:
y = x + 3은 기울기가 1이고 y절편이 3인 직선이에요. (0, 3), (1, 4), (-3, 0) 등의 점을 지나죠.
2. 역함수 f-1(x) 구하기:
y = x + 3
x = y – 3 (x에 대해 풀기)
y = x – 3 (x와 y 바꾸기)
따라서, f-1(x) = x – 3 입니다.
3. 역함수 f-1(x) = x – 3 그래프 그리기:
y = x – 3은 기울기가 1이고 y절편이 -3인 직선이에요. (0, -3), (1, -2), (3, 0) 등의 점을 지나요.
4. 대칭 확인:
두 그래프를 그려보면 직선 y = x에 대해 정확히 대칭되는 것을 볼 수 있어요! 예를 들어, f(x) 위의 점 (0, 3)에 대응하는 역함수 위의 점은 (3, 0)이랍니다.
y = x + 3 그래프와
y = x – 3 그래프가
y = x 직선에 대해 대칭인 모습
✏️ 문제 2: 함수 y = f(x)의 그래프가 점 (2, 5)와 점 (-1, 0)을 지날 때, 역함수 y = f-1(x)의 그래프가 지나는 두 점의 좌표를 구하시오.
💡 풀이 2:
원래 함수 y = f(x)의 그래프 위의 점 (a, b)에 대하여, 역함수 y = f-1(x)의 그래프는 점 (b, a)를 지난다는 성질을 이용해요! [cite: 29]
- 원래 함수가 점 (2, 5)를 지나므로, 역함수는 점 (5, 2)를 지납니다.
- 원래 함수가 점 (-1, 0)을 지나므로, 역함수는 점 (0, -1)을 지납니다.
따라서 역함수 y = f-1(x)의 그래프는 점 (5, 2)와 점 (0, -1)을 지납니다! 참 간단하죠? 😄
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💡 참고
직선 y = x에 대한 대칭 이동에 대해 조금 더 알아볼까요?
- 점의 대칭 이동: 점 (x, y)를 직선 y = x에 대하여 대칭 이동하면 점 (y, x)가 돼요. [cite: 31] x좌표와 y좌표가 서로 바뀌는 거죠!
- 도형(그래프)의 대칭 이동: 방정식 f(x, y) = 0으로 나타내어지는 도형을 직선 y = x에 대하여 대칭 이동하면, 방정식에서 x 대신 y를, y 대신 x를 대입한 f(y, x) = 0이 된답니다. [cite: 31] 역함수 구할 때 x와 y를 바꾸는 이유가 바로 여기에 숨어있어요! 😉