190 역함수 구하기: x와 y 자리 바꾸고 y에 대해 풀기! 🔄
안녕하세요, 함수의 비밀을 푸는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 함수 f의 대응을 거꾸로 한 ‘역함수 f^{-1}‘의 정의와, 역함수가 존재하기 위해서는 원래 함수가 일대일대응이어야 한다는 중요한 조건을 배웠어요. 오늘은 이 역함수를 구체적으로 어떻게 구하는지 그 방법에 대해 알아볼 거예요. 마치 암호를 해독하듯, 주어진 함수의 식을 변형하여 그 역함수의 식을 찾아내는 과정이랍니다! 함께 그 단계를 따라가 볼까요? ⚙️
📝 핵심만정리: 역함수 구하는 3단계 방법!
함수 y=f(x)의 역함수를 구하는 순서는 다음과 같아요.
- 1단계: 일대일대응 확인: 주어진 함수 f(x)가 일대일대응인지 확인해요. (일대일대응이 아니면 역함수가 존재하지 않아요!)
- 2단계: x에 대하여 풀기: 주어진 함수 y=f(x)를 x에 관하여 푼다. 즉, x = (\text{y에 대한 식}) 꼴로 변형해요.
- 3단계: x와 y 바꾸기: 2단계에서 얻은 식의 x와 y를 서로 바꾸어 y = f^{-1}(x) 꼴로 나타내요. (이때, 원래 함수 f의 치역이 역함수 f^{-1}의 정의역이 됨을 주의해야 해요!)
🚦 1단계: 일대일대응인지 먼저 확인!
개념정리 190-1: 역함수 존재의 필수 조건!
역함수를 구하는 가장 첫 번째 단계는 주어진 함수 f(x)가 역함수를 가질 수 있는 조건을 만족하는지 확인하는 것이에요. 그 조건은 바로 함수 f(x)가 일대일대응이어야 한다는 것입니다.
만약 함수가 일대일대응이 아니라면 (예: 일대일함수가 아니거나, 치역과 공역이 다르다면), 그 역대응은 함수의 정의를 만족하지 못하므로 역함수가 존재하지 않아요. 따라서 역함수를 구하라는 문제가 나오면, 가장 먼저 (또는 풀이 과정에서 자연스럽게) 일대일대응 여부를 따져보아야 합니다.
일반적으로 우리가 다루는 문제에서는 역함수를 구하라고 하면 역함수가 존재하는 경우를 제시하지만, 이 기본 전제를 항상 기억해두는 것이 좋아요!
🔄 2단계: y=f(x)를 x에 대하여 풀기!
개념정리 190-2: x를 주인공으로!
함수 y=f(x)가 일대일대응임이 확인되었다면, 이제 역함수를 구하는 본격적인 계산을 시작할 수 있어요. 먼저, 주어진 함수식 y=f(x)를 x에 관하여 푼다는 것은, 식을 변형하여 x = (\text{y에 대한 식})의 형태로 만드는 것을 의미합니다.
이 과정은 y가 주어졌을 때 원래의 x값을 찾는 과정이라고 생각할 수 있어요. 즉, x = f^{-1}(y)의 형태를 만드는 것이죠.
↔️ 3단계: x와 y를 서로 바꾸기! (역함수 완성!)
개념정리 190-3: 입력과 출력의 역할 교대!
2단계에서 x = (\text{y에 대한 식}) 꼴을 얻었다면, 이것이 바로 x = f^{-1}(y)를 나타내는 식입니다. 하지만 우리가 함수를 표현할 때는 보통 입력 변수를 x, 출력 변수를 y로 사용하죠?
그래서 마지막 단계로, x = f^{-1}(y) 식에서 문자 x와 y를 서로 바꾸어주면 우리가 흔히 보는 y = f^{-1}(x) 형태의 역함수 식을 얻을 수 있습니다.
이때 매우 중요한 점은, 원래 함수 f의 정의역은 역함수 f^{-1}의 치역이 되고, 원래 함수 f의 치역은 역함수 f^{-1}의 정의역이 된다는 사실이에요. 따라서 역함수를 구할 때는 새로운 정의역(원래 함수의 치역)을 함께 명시해 주는 것이 좋습니다.
예시: 함수 y = 2x – 4의 역함수를 구해봅시다. (PDF 예제)
1단계: 일대일대응 확인
일차함수 y=2x-4는 기울기가 0이 아니므로 실수 전체에서 일대일대응입니다. (역함수 존재!)
2단계: x에 대하여 풀기
y = 2x – 4
2x = y + 4
x = \frac{1}{2}y + 2
3단계: x와 y 바꾸기
x를 y로, y를 x로 바꾸면 역함수는
\(y = \frac{1}{2}x + 2\) (또는 \(f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x + 2\)) 입니다.
(원래 함수 f의 정의역과 치역이 모두 실수 전체이므로, 역함수 f^{-1}의 정의역과 치역도 모두 실수 전체입니다.)
🧐 개념확인 문제: 역함수 직접 구하기!
이제 배운 3단계 방법을 이용하여 다음 함수의 역함수를 구해봅시다!
함수 \(y = \frac{1}{3}x + 1\)의 역함수를 구하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
주어진 함수 \(y = \frac{1}{3}x + 1\)은 일차함수이고 기울기가 0이 아니므로 일대일대응입니다. (역함수 존재)
1. x에 대하여 풀기:
\(y = \frac{1}{3}x + 1\)
\(y – 1 = \frac{1}{3}x\)
양변에 3을 곱하면: \(3(y – 1) = x\)
따라서 x = 3y – 3
2. x와 y 바꾸기:
x를 y로, y를 x로 바꾸면 역함수는
y = 3x – 3 입니다.
주어진 함수 y=f(x)에서 x를 y에 대한 식으로 나타낸 후, 마지막에 x와 y를 바꿔주는 순서를 잊지 마세요! 😉
오늘은 함수 y=f(x)의 역함수 y=f^{-1}(x)를 구하는 구체적인 3단계 방법에 대해 배웠습니다. 먼저 일대일대응인지 확인하고, y=f(x)를 x에 대해 푼 다음, 마지막으로 x와 y를 서로 바꾸어주면 되었죠! 이 과정을 통해 원래 함수의 대응 관계를 거꾸로 뒤집는 역함수의 식을 찾을 수 있었습니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 역함수가 가지는 여러 가지 중요한 성질들에 대해 알아보겠습니다. 🔄✨