두 함수 f: X \rightarrow Y와 g: Y \rightarrow Z에 대하여,

• 합성함수 (g ˆ f):
  • 집합 X의 각 원소 x에 g(f(x)) (\(\in Z\))를 대응시키는 새로운 함수.
  • 기호로는 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)와 같이 나타내고, “g와 f의 합성함수” 또는 “g circle f”라고 읽어요.
  • 합성함수 \(g \circ f\)는 X에서 Z로의 함수가 됩니다 (\(g \circ f: X \rightarrow Z\)).
• 합성함수가 정의될 조건:
  • 함수 f의 치역이 함수 g의 정의역에 포함되어야 합니다. (\(f(X) \subset Y\), 여기서 Y는 g의 정의역)

주의! 일반적으로 \(g \circ f\)와 \(f \circ g\)는 서로 다른 함수예요 (교환법칙 성립 안 함!). 하지만 결합법칙 \((h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)\)은 성립합니다.

개념정리 188-1: 두 번의 대응을 한 번에!

두 함수 f: X \rightarrow Y와 g: Y \rightarrow Z가 있다고 해봅시다.

• 함수 f는 집합 X의 원소 x를 집합 Y의 원소 f(x)에 대응시킵니다.
• 함수 g는 집합 Y의 원소를 집합 Z의 원소에 대응시키죠.

이때, 함수 f에 의해 얻어진 함숫값 f(x)를 다시 함수 g의 입력값으로 사용하여 g(f(x))를 얻는 과정을 생각해 볼 수 있어요. 이렇게 X의 원소 x에서 출발하여 f를 거쳐 f(x)가 되고, 다시 g를 거쳐 g(f(x))에 도달하는 이 전체 과정을 하나의 새로운 함수로 볼 수 있는데, 이것이 바로 합성함수입니다.

이 합성함수는 \(g \circ f\) (g circle f)라고 쓰고, 그 함숫값은 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)로 정의됩니다.
(기호 순서에 주의하세요! x에 먼저 적용되는 함수 f가 뒤에 쓰입니다.)

합성함수 \(g \circ f\)의 정의역은 함수 f의 정의역 X가 되고, 공역은 함수 g의 공역 Z가 됩니다 (\(g \circ f: X \rightarrow Z\)).

합성함수가 정의되려면, 안쪽 함수 f의 치역이 바깥쪽 함수 g의 정의역에 포함되어야 합니다. 즉, f를 통과해서 나온 결과값들이 모두 g의 입력값으로 사용될 수 있어야 한다는 뜻이죠!

개념정리 188-2: 괄호 안의 함수부터 계산!

합성함수 \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)의 값을 계산할 때는 안쪽에 있는 함수 f(x)의 값을 먼저 계산하고, 그 결과를 다시 바깥쪽 함수 g에 대입하여 계산하면 됩니다.