186 함수의 그래프 판별법: 세로선 테스트로 한눈에! 🧐
안녕하세요, 그래프의 비밀을 읽는 탐험가 친구들! 👋 좌표평면 위에 그려진 어떤 그림(도형)을 보았을 때, 이것이 과연 함수의 그래프가 될 수 있을지 없을지를 어떻게 판단할 수 있을까요? 모든 그림이 다 함수의 그래프가 되는 것은 아니랍니다! 오늘은 주어진 그래프가 함수의 정의를 만족하는지, 즉 함수의 그래프가 될 수 있는지 판별하는 아주 간단하고 효과적인 방법, 바로 세로선 테스트(수직선 검사)에 대해 알아볼 거예요. 이 테스트만 통과하면 그 그래프는 당당히 함수의 자격을 얻을 수 있답니다! 함께 그 방법을 살펴볼까요? 📏
📝 핵심만정리: 함수의 그래프 판별, 이렇게 해요!
좌표평면 위에 그려진 어떤 그래프가 함수 y=f(x)의 그래프인지 아닌지를 판별하는 방법은 다음과 같아요.
- 함수의 정의 만족 여부 확인:
정의역의 각 원소 x에 대하여 y의 값이 오직 하나씩만 대응되어야 합니다. - 세로선 테스트 (수직선 검사):
정의역 내의 각 x값에 대하여, x축에 수직인 직선 (세로선) x=k를 그렸을 때, 이 직선과 그래프의 교점이 1개 이하이면 (즉, 없거나 1개이면) 그 그래프는 함수의 그래프입니다.
만약 교점이 2개 이상인 세로선이 하나라도 존재하면, 그 그래프는 함수의 그래프가 아닙니다.
🤔 함수의 정의, 다시 한번 기억하기!
개념정리 186-1: 하나의 x에 오직 하나의 y!
어떤 그래프가 함수 y=f(x)의 그래프가 되려면, 가장 먼저 함수의 정의를 만족해야 해요. 함수란 무엇이었죠?
“공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여, 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소가 오직 하나씩 대응될 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수라고 한다.”
이 정의에서 그래프와 관련하여 가장 중요한 부분은 바로 “X의 각 원소(x값)에 Y의 원소(y값)가 오직 하나씩만 대응되어야 한다”는 점이에요. 즉, 하나의 x값에 대해 두 개 이상의 y값이 대응되어서는 안 된다는 것이죠!
📏 세로선 테스트: 함수의 그래프 판별법!
개념정리 186-2: 세로선과 교점이 하나! (또는 없음)
주어진 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 시각적으로 쉽게 판별하는 방법이 바로 세로선 테스트(수직선 검사)입니다.
방법은 아주 간단해요:
- 주어진 그래프의 정의역 내의 모든 x값에 대하여, x축에 수직인 직선(세로선) x=k (k는 정의역 내의 임의의 실수)를 그려봅니다.
- 이 세로선과 주어진 그래프의 교점의 개수를 확인합니다.
판단 기준은 다음과 같습니다:
- 만약 정의역 내의 모든 세로선에 대하여 그래프와의 교점이 1개 이하 (즉, 없거나 1개)이면, 그 그래프는 함수의 그래프입니다. (하나의 x에 y가 많아야 하나만 대응되므로)
- 만약 그래프와의 교점이 2개 이상인 세로선이 단 하나라도 존재하면, 그 그래프는 함수의 그래프가 아닙니다. (하나의 x에 여러 개의 y가 대응되므로)
예시:
- 일반적인 직선(y=mx+n, 단 x=k꼴 제외)이나 포물선(y=ax2+bx+c)의 그래프는 세로선 테스트를 통과하므로 함수의 그래프입니다.
- 원의 방정식(x2+y2=r2)의 그래프는 대부분의 세로선과 두 점에서 만나므로 함수의 그래프가 아닙니다. (단, 원의 위쪽 반원 y=\sqrt{r^2-x^2} 또는 아래쪽 반원 y=-\sqrt{r^2-x^2}은 각각 함수입니다.)
- y축에 평행한 직선 x=a의 그래프는 x=a라는 세로선과 무수히 많은 점에서 만나므로 함수의 그래프가 아닙니다. (단, 정의역이 x=a 하나인 점은 함수 가능)
🧐 개념확인 문제: 그래프 보고 함수 판별하기!
이제 배운 세로선 테스트를 이용하여 다음 그래프들이 함수의 그래프인지 아닌지 판별해 봅시다!
다음 그래프 중에서 함수의 그래프인 것을 모두 고르시오. (PDF Check 문제 그림)
(PDF의 그림 (1)~(4)를 참고하여 설명)
정답 및 해설:
각 그래프에 대하여 x축에 수직인 직선(세로선)을 그어 교점의 개수를 확인합니다.
- (1) 위로 볼록한 포물선: 어떤 세로선을 그어도 그래프와 오직 한 점에서만 만납니다. 따라서 함수의 그래프입니다.
- (2) 옆으로 누운 포물선: 대부분의 세로선과 그래프가 두 점에서 만납니다 (예: 꼭짓점을 제외한 부분). 따라서 함수의 그래프가 아닙니다.
- (3) S자 모양 곡선 (x값 하나에 y값 하나씩 대응): 어떤 세로선을 그어도 그래프와 오직 한 점에서만 만납니다. 따라서 함수의 그래프입니다.
- (4) 원 그래프: 대부분의 세로선과 그래프가 두 점에서 만납니다 (예: 원의 양쪽 끝 제외). 따라서 함수의 그래프가 아닙니다.
함수의 그래프인 것은 (1)번과 (3)번입니다.
세로선 테스트는 함수의 정의를 시각적으로 간단하게 확인할 수 있는 아주 유용한 방법이에요! 😉
오늘은 좌표평면 위에 그려진 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 판별하는 방법, 특히 ‘세로선 테스트’에 대해 배웠습니다. 정의역의 각 x값에 대해 y값이 오직 하나씩만 대응해야 한다는 함수의 정의를 시각적으로 확인하는 방법이었죠? 이 판별법을 잘 기억해두면 다양한 그래프를 보고 그것이 함수인지 아닌지를 쉽게 구분할 수 있을 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 여러 가지 특별한 함수들(일대일 함수, 항등함수, 상수함수 등)에 대해 자세히 알아보겠습니다. 🚀