1828번 · 행렬 B⁴A⁸의 모든 성분의 합
2014년 06월 고2 학력평가 A형 27번 · 정답 32 · MAPL 시너지 행렬과 그 연산
📌 문제 요약
이차정사각행렬 A, B가 주어졌을 때, 행렬 B⁴A⁸의 모든 성분의 합을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 단서
BA를 직접 계산하면 BA = −E(단위행렬의 −1배)가 됩니다. 이 관계를 발견하는 것이 문제의 핵심입니다. BA = −E이면 B⁴A⁸에서 BA 쌍을 반복적으로 묶어 지수를 줄일 수 있습니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
B⁴A⁸을 직접 계산하면 행렬 곱셈을 12번 해야 하므로 비효율적입니다. 대신 BA의 관계를 먼저 파악하면, B⁴A⁸ = BBBBAAAAAAAA에서 BA 쌍을 하나씩 묶어 B⁴A⁸ = (BA)⁴·A⁴ 형태로 정리할 수 있습니다. BA = −E이므로 (−E)⁴ = E가 되어 결국 A⁴만 구하면 됩니다. A² → A⁴ 순서로 거듭제곱을 구하면 빠르게 답에 도달합니다.
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⚠️ 자주 하는 실수
- BA와 AB를 혼동 — 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로 AB ≠ BA입니다. BA = −E라고 해서 AB = −E인 것은 아닙니다(이 문제에서는 AB = BA = −E이지만, 항상 확인해야 합니다).
- 지수 계산 실수 — B⁴A⁸에서 BA 쌍을 묶을 때, B의 개수(4개)만큼만 쌍을 만들 수 있으므로 나머지 A⁴가 남는다는 점을 놓치는 경우가 많습니다.
- A²→A⁴ 거듭제곱 오류 — A²을 구한 뒤 A⁴ = (A²)²으로 계산해야 하는데, A⁴ = A²·A·A로 잘못 계산하는 실수를 주의하세요.
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