180 여러 가지 절대부등식 특강: 증명과 함께 기억하기! 🧐
안녕하세요, 부등식의 세계를 깊이 탐구하는 친구들! 👋 지난 시간에는 문자에 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 ‘절대부등식’의 뜻에 대해 배웠어요. 오늘은 부등식 문제를 해결할 때 자주 이용되는 몇 가지 중요한 절대부등식들을 살펴보고, 이 부등식들이 왜 항상 성립하는지 그 증명 과정도 함께 알아볼 거예요. 이 절대부등식들은 마치 수학의 기본 도구처럼 다양한 상황에서 활용되니, 증명과 함께 확실하게 기억해 두도록 합시다! 🛠️
📝 핵심만정리: 자주 나오는 절대부등식들!
a, b, c가 실수일 때, 다음 부등식들은 항상 성립하는 절대부등식입니다.
- 1. a2 ± ab + b2 ≥ 0
(단, 등호는 a=b=0일 때 성립) - 2. a2 ± 2ab + b2 ≥ 0 (즉, (a ± b)2 ≥ 0)
(단, 등호는 a = ∓b일 때 성립 (복호동순)) - 3. a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0
(단, 등호는 a=b=c일 때 성립)
절대부등식을 다룰 때는 등호가 언제 성립하는지 그 조건까지 함께 밝혀주는 것이 중요해요!
부등식 증명에 자주 이용되는 실수의 성질 복습! 💡
– A>B \iff A-B>0
– A2 \ge 0, A2+B2 \ge 0
– A2+B2=0 \iff A=0 \text{ 이고 } B=0
– |A|2=A2, |AB|=|A||B|
– A>0, B>0일 때, A>B \iff A2>B2
– -|A| \le A \le |A|
🤔 자주 사용되는 절대부등식들, 어떤 모습일까요?
개념정리 180-1: 완전제곱식과 밀접한 관련!
오늘 배울 주요 절대부등식들은 대부분 (실수)2 ≥ 0이라는 실수의 기본 성질과 완전제곱식을 이용하여 그 참됨을 보일 수 있는 형태들이에요.
- a2 ± ab + b2 ≥ 0:
이 식은 a 또는 b에 대한 이차식으로 보고 완전제곱꼴로 변형할 수 있어요. - a2 ± 2ab + b2 ≥ 0:
이것은 우리가 잘 아는 완전제곱식 (a ± b)2과 같죠? 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 이 부등식은 당연히 성립합니다. - a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0:
이 식은 양변에 2를 곱한 후 잘 묶으면 세 개의 완전제곱식의 합 형태로 변형될 수 있어요.
이러한 형태의 부등식들은 그 자체로도 중요하지만, 다른 복잡한 부등식을 증명하거나 최솟값을 구할 때 기본 도구로 활용되기도 합니다.
🛠️ 절대부등식 증명하기: 완전제곱식으로 변형!
개념정리 180-2: (실수)2 \ge 0을 이용한 증명!
각 절대부등식이 왜 항상 성립하는지 증명 과정을 살펴봅시다. (A \ge B임을 보이려면 A-B \ge 0임을 보이면 됩니다.)
1. a2 ± ab + b2 ≥ 0의 증명
a2 \pm ab + b2 = (a2 \pm ab + (b&frasL;2)2) – (b&frasL;2)2 + b2
= (a \pm b&frasL;2)2 + 3&frasL;4b2
여기서 (a \pm b/2)2 \ge 0 이고 b2 \ge 0 (따라서 (3/4)b2 \ge 0) 이므로, 두 제곱의 합은 항상 0 이상입니다.
등호 성립 조건: 위 식이 0이 되려면 a \pm b/2 = 0 이고 b=0 이어야 합니다. b=0이면 a=0이므로, 등호는 a=0, b=0일 때 성립합니다.
2. a2 ± 2ab + b2 ≥ 0의 증명
a2 \pm 2ab + b2 = (a \pm b)2
실수의 제곱은 항상 0 이상이므로 (a \pm b)2 \ge 0 입니다.
등호 성립 조건: 위 식이 0이 되려면 a \pm b = 0 이어야 합니다. 즉, a = \mp b (복호동순)일 때 성립합니다.
3. a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0의 증명
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca
= 1&frasL;2 (2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca)
= 1&frasL;2 \{ (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) \}
= 1&frasL;2 \{ (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2 \}
여기서 (a-b)2 \ge 0, (b-c)2 \ge 0, (c-a)2 \ge 0 이므로, 세 제곱의 합은 항상 0 이상이고, 따라서 전체 식도 0 이상입니다.
등호 성립 조건: 위 식이 0이 되려면 a-b=0, b-c=0, c-a=0이어야 합니다. 즉, a=b=c일 때 성립합니다.
🧐 개념확인 문제: 절대부등식 증명하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 부등식이 절대부등식임을 증명해 봅시다!
a, b가 실수일 때, 부등식 a2 – 4ab + 4b2 ≥ 0을 증명하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
주어진 부등식의 좌변을 변형해 봅시다.
a2 – 4ab + 4b2 = a2 – 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)2
이것은 완전제곱식 (A-B)2 = A2-2AB+B2의 형태와 같죠? 여기서 A=a, B=2b라고 생각할 수 있습니다.
따라서 a2 – 4ab + 4b2 = (a – 2b)2 입니다.
a, b가 실수이므로 a-2b도 실수입니다. 실수의 제곱은 항상 0 이상이므로,
(a – 2b)2 ≥ 0 입니다.
따라서 부등식 a2 – 4ab + 4b2 ≥ 0은 항상 성립합니다.
(등호는 a-2b=0, 즉 a=2b일 때 성립합니다.)
완전제곱식으로 변형하는 것은 절대부등식을 증명하는 강력한 도구 중 하나예요! 😉
오늘은 부등식 문제 해결에 자주 사용되는 여러 가지 중요한 절대부등식들과 그 증명 방법에 대해 배웠습니다. 핵심은 (실수)2 ≥ 0이라는 성질을 이용하여 주어진 식을 완전제곱식의 합 또는 완전제곱식 형태로 변형하는 것이었죠? 이러한 절대부등식들은 그 자체로도 중요하지만, 다른 부등식을 증명하거나 식의 최댓값/최솟값을 구하는 문제에서 기본 도구로 활용되니 꼭 기억해두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이의 관계에 대해 알아보겠습니다. 📈