173 명제와 그 역, 대우의 참/거짓 관계: 운명 공동체는 누구? 🔗
안녕하세요, 논리의 연결고리를 탐험하는 친구들! 👋 지난 시간에는 명제 p \rightarrow q의 가정과 결론을 바꾸거나 부정하여 ‘역’과 ‘대우’라는 새로운 명제를 만드는 방법을 배웠어요. 오늘은 이 원래 명제, 그 역, 그리고 대우 사이에 어떤 참/거짓 관계가 있는지 알아볼 거예요. 어떤 쌍은 항상 참과 거짓을 함께 하고, 어떤 쌍은 그렇지 않을 수도 있답니다! 마치 운명 공동체처럼 묶여 있는 관계는 무엇일까요? 함께 그 비밀을 파헤쳐 봅시다! 🤔
📝 핵심만정리: 명제, 역, 대우의 참/거짓 관계!
명제 p \rightarrow q와 그 역 q \rightarrow p, 그리고 대우 ~q \rightarrow ~p 사이에는 다음과 같은 참/거짓 관계가 성립해요.
- 원래 명제(p \rightarrow q)와 그 대우(~q \rightarrow ~p)는 항상 참/거짓을 함께 한다!
→ 즉, p \rightarrow q가 참이면 ~q \rightarrow ~p도 반드시 참입니다.
→ p \rightarrow q가 거짓이면 ~q \rightarrow ~p도 반드시 거짓입니다. - 원래 명제(p \rightarrow q)와 그 역(q \rightarrow p)의 참/거짓 사이에는 특별한 관계가 없다!
→ 원래 명제가 참이라고 해서 역이 반드시 참이거나 거짓이라고 말할 수 없어요. (마찬가지로 역이 참이라고 원래 명제가 참인 것도 아님)
결국, “명제가 참이면 그 대우도 참이고, 명제가 거짓이면 그 대우도 거짓이다.”라는 사실이 매우 중요하답니다!
🤝 명제와 대우: 운명 공동체! (참/거짓 일치)
개념정리 173-1: p \Rightarrow q \iff ~q \Rightarrow ~p
명제 p \rightarrow q와 그 대우 명제 ~q \rightarrow ~p는 논리적으로 동치 관계에 있어요. 즉, 두 명제는 항상 같은 참/거짓 값을 가집니다.
이것은 각 명제의 진리집합 사이의 포함 관계로 설명할 수 있어요.
- 명제 p \rightarrow q가 참이라는 것은, p의 진리집합 P가 q의 진리집합 Q에 포함된다는 의미 (P \subset Q)와 같아요.
- 대우 명제 ~q \rightarrow ~p가 참이라는 것은, ~q의 진리집합 Qc가 ~p의 진리집합 Pc에 포함된다는 의미 (Qc \subset Pc)와 같아요.
그런데 집합의 성질에서 P \subset Q 이면 반드시 Qc \subset Pc가 성립하고, 그 역도 성립해요! (벤다이어그램을 그려보면 쉽게 확인할 수 있습니다.)
따라서 원래 명제가 참이면 그 대우도 반드시 참이고, 원래 명제가 거짓이면 그 대우도 반드시 거짓이 되는 것이랍니다.
예시: (자연수 x에 대하여)
| 구분 | 명제 | 참/거짓 |
|---|---|---|
| 원래 명제 | x가 4의 배수이면 x는 2의 배수이다. | 참 |
| 대우 | x가 2의 배수가 아니면 x는 4의 배수가 아니다. | 참 |
(4의 배수는 항상 2의 배수이고, 2의 배수가 아니면(홀수이면) 당연히 4의 배수도 아니죠?)
❓ 명제와 역: 참/거짓 관계는 독립적!
개념정리 173-2: 원래 명제가 참이라고 역도 참인 건 아니에요!
명제 p \rightarrow q와 그 역 명제 q \rightarrow p 사이에는 참/거짓 관계에 있어서 특별한 필연성이 없어요.
즉,
- 원래 명제가 참이라고 해서 그 역이 반드시 참이거나 거짓이라고 단정할 수 없습니다.
- 원래 명제가 거짓이라고 해서 그 역이 반드시 참이거나 거짓이라고 단정할 수 없습니다.
따라서 명제와 그 역은 각각의 참/거짓을 따로 판별해 보아야 합니다.
예시: (자연수 x에 대하여)
| 구분 | 명제 | 참/거짓 |
|---|---|---|
| 원래 명제 | x가 4의 배수이면 x는 2의 배수이다. | 참 |
| 역 | x가 2의 배수이면 x는 4의 배수이다. | 거짓 (반례: x=2, 6 등) |
위 예시에서 원래 명제는 참이지만 그 역은 거짓이죠? 이처럼 명제와 역의 참/거짓은 서로 다를 수 있습니다.
그렇다면 역과 이는? 🤔
명제 p \rightarrow q의 ‘이’는 ~p \rightarrow ~q였죠? ‘이’는 원래 명제의 ‘역’인 q \rightarrow p의 ‘대우’ 관계에 있어요 (~(~p) \rightarrow ~(~q)가 아니라, q \rightarrow p의 가정을 부정하고 결론을 부정한 후 자리를 바꾼 형태가 아니라, q \rightarrow p의 결론(p)을 부정하여 가정으로, 가정(q)을 부정하여 결론으로 가져온 형태).
정확히는, 명제 p \rightarrow q의 역은 q \rightarrow p이고, 명제 p \rightarrow q의 이는 ~p \rightarrow ~q입니다.
이때, q \rightarrow p (역)와 ~p \rightarrow ~q (이)는 서로 대우 관계입니다.
따라서 역과 이도 항상 참/거짓을 함께 합니다!
🧐 개념확인 문제: 명제와 대우의 참/거짓!
이제 배운 내용을 바탕으로 명제와 그 대우의 참/거짓 관계를 확인해 봅시다!
명제 ~q \rightarrow p가 참일 때, 다음 중 반드시 참인 명제는? (PDF Check 문제)
① \sim p \rightarrow q ② q \rightarrow \sim p ③ q \rightarrow p
④ ~p \rightarrow \sim q ⑤ p \rightarrow \sim q
정답 및 해설:
주어진 명제는 “~q \rightarrow p” 이고, 이 명제가 참이라고 했습니다.
원래 명제와 그 대우는 항상 참/거짓을 함께 하므로, 명제 ~q \rightarrow p의 대우를 찾아봅시다.
대우는 가정과 결론을 각각 부정한 후 자리를 바꾼 것이므로,
- 가정 ~q의 부정은 ~(~q) = q
- 결론 p의 부정은 ~p
이 둘의 자리를 바꾸면 ~p \rightarrow q가 됩니다.
따라서 원래 명제 ~q \rightarrow p가 참이므로, 그 대우인 ~p \rightarrow q도 반드시 참입니다.
답은 ①번입니다.
어떤 명제의 참/거짓을 판단하기 어려울 때, 그 대우 명제의 참/거짓을 대신 판단해보는 것이 좋은 전략이 될 수 있어요! 😉
오늘은 명제 p \rightarrow q와 그 역, 그리고 대우 사이의 참/거짓 관계에 대해 배웠습니다. 핵심은 원래 명제와 그 대우는 항상 참/거짓을 함께 하는 운명 공동체라는 것이고, 원래 명제와 그 역 사이에는 참/거짓의 필연적인 관계가 없다는 것이었죠! 이 관계는 수학적 증명에서 대우를 이용하는 방법의 기초가 된답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 “p는 q이기 위한 충분조건, 필요조건”에 대해 알아보겠습니다. 🎯