170 ‘모든’ 또는 ‘어떤’이 있는 명제의 참/거짓: 진리집합으로 판별! 🌍
안녕하세요, 논리의 범위를 탐색하는 친구들! 👋 조건 p(x)는 x의 값에 따라 참/거짓이 달라져서 그 자체로는 명제가 아니라고 했죠? 그런데 이 조건 앞에 “모든 x에 대하여” 또는 “어떤 x에 대하여“와 같은 말이 붙으면, x값이 정해지지 않아도 참 또는 거짓을 판별할 수 있는 명제가 된답니다! 오늘은 이렇게 ‘모든’이나 ‘어떤’과 같은 한정사(Quantifier)가 붙은 명제의 참/거짓을 그 조건의 진리집합과 전체집합의 관계를 통해 어떻게 판단하는지 알아볼 거예요. 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: ‘모든/어떤’ 명제와 진리집합!
공집합이 아닌 전체집합 U에서의 조건 p(x)의 진리집합을 P라고 할 때,
- 1. “모든 x에 대하여 p(x)이다.”
- 이 명제가 참이려면 ⇔ P = U (진리집합 P가 전체집합 U와 같아야 함)
- 이 명제가 거짓이려면 ⇔ P ≠ U (진리집합 P가 전체집합 U와 다르면, 즉 반례가 하나라도 있으면 거짓)
- 2. “어떤 x에 대하여 p(x)이다.”
- 이 명제가 참이려면 ⇔ P ≠ ∅ (진리집합 P가 공집합이 아니어야 함, 즉 조건을 만족하는 원소가 하나라도 있으면 참)
- 이 명제가 거짓이려면 ⇔ P = ∅ (진리집합 P가 공집합이면, 즉 조건을 만족하는 원소가 하나도 없으면 거짓)
🤔 ‘모든’ 또는 ‘어떤’이 붙으면 왜 명제가 될까요?
개념정리 170-1: 조건에 범위를 부여하는 한정사!
조건 p(x)는 x의 값에 따라 참/거짓이 달라지지만, 여기에 “모든 x에 대하여” 또는 “어떤 x에 대하여”라는 말이 붙으면, 그 문장 전체는 참 또는 거짓을 분명하게 판별할 수 있는 명제가 됩니다.
- “모든 x에 대하여 p(x)이다”라는 말은, 우리가 생각하는 전체 범위(전체집합 U)에 있는 모든 x가 예외 없이 조건 p(x)를 만족해야 한다는 뜻이에요. 만약 단 하나의 예외라도 있다면 이 명제는 거짓이 됩니다.
- “어떤 x에 대하여 p(x)이다”라는 말은, 전체집합 U에 있는 x 중에서 조건 p(x)를 만족하는 것이 단 하나라도 존재하면 된다는 뜻이에요. 만약 하나도 존재하지 않는다면 이 명제는 거짓이 됩니다.
이처럼 “모든(all, ∀)”이나 “어떤(some 또는 there exists, ∃)”과 같이 변수의 범위를 한정하는 말을 한정사(Quantifier)라고 부릅니다.
🌍 “모든 x에 대하여 p(x)”의 참/거짓: P = U 인가?
개념정리 170-2: 예외가 없어야 참!
명제 “모든 x에 대하여 p(x)이다”가 참이 되려면, 전체집합 U의 모든 원소가 조건 p(x)를 만족해야 해요. 즉, 조건 p(x)의 진리집합 P가 전체집합 U와 같아야 합니다 (P=U).
만약 진리집합 P가 전체집합 U와 다르다면 (P \ne U), 즉 조건 p(x)를 만족하지 않는 원소(반례)가 전체집합 U 안에 단 하나라도 존재한다면, 그 명제는 거짓이 됩니다.
예시: (전체집합 U는 실수 전체)
- 명제: “모든 실수 x에 대하여 x2 \ge 0이다.”
조건 p(x): x2 \ge 0의 진리집합 P는 모든 실수입니다 (P=U).
따라서 이 명제는 참입니다. - 명제: “모든 실수 x에 대하여 x2 \ne 0이다.”
조건 p(x): x2 \ne 0의 진리집합 P는 x=0을 제외한 모든 실수입니다. (P \ne U)
(반례: x=0일 때 02=0이므로 x2 \ne 0이 거짓)
따라서 이 명제는 거짓입니다.
🎯 “어떤 x에 대하여 p(x)”의 참/거짓: P ≠ ∅ 인가?
개념정리 170-3: 하나라도 있으면 참!
명제 “어떤 x에 대하여 p(x)이다”가 참이 되려면, 전체집합 U의 원소 중에서 조건 p(x)를 만족시키는 것이 적어도 하나는 존재해야 해요. 즉, 조건 p(x)의 진리집합 P가 공집합이 아니면 됩니다 (P \ne ∅).
만약 진리집합 P가 공집합이라면 (P = ∅), 즉 조건 p(x)를 만족하는 원소가 전체집합 U 안에 하나도 없다면, 그 명제는 거짓이 됩니다.
예시: (전체집합 U는 실수 전체)
- 명제: “어떤 양의 실수 x에 대하여 x2 < x이다.”
조건 p(x): x2 < x (단, x>0). x2-x < 0 \implies x(x-1) < 0 \implies 0 < x < 1.
진리집합 P는 {x | 0 < x < 1}이고, 이것은 공집합이 아닙니다. (예: x=1/2일 때 (1/2)2 < 1/2 즉 1/4 < 1/2로 참)
따라서 이 명제는 참입니다. - 명제: “어떤 실수 x에 대하여 x2 < 0이다.”
조건 p(x): x2 < 0의 진리집합 P는 공집합입니다. (실수의 제곱은 항상 0 이상이므로)
따라서 이 명제는 거짓입니다.
🧐 개념확인 문제: ‘모든/어떤’ 명제 참/거짓 판별!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 명제의 참/거짓을 판별해 봅시다!
다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오. (PDF Check 문제)
- 모든 실수 x에 대하여 x2 \ne 0이다.
- 어떤 양의 실수 x에 대하여 x2 < x이다.
정답 및 해설:
- “모든 실수 x에 대하여 x2 \ne 0이다.”
조건 p(x): x2 \ne 0.
이 명제가 참이려면 진리집합 P가 실수 전체(U)여야 합니다.
하지만 x=0일 때, 02 = 0이므로 x2 \ne 0은 거짓이 됩니다. (반례: x=0)
따라서 P \ne U이므로, 이 명제는 거짓입니다. - “어떤 양의 실수 x에 대하여 x2 < x이다.”
조건 q(x): x2 < x (단, x > 0).
이 명제가 참이려면 진리집합 Q가 공집합이 아니면 됩니다.
x2 < x ⇒ x2 – x < 0 ⇒ x(x-1) < 0.
이 부등식의 해는 0 < x < 1입니다.
양의 실수 중에서 0 < x < 1을 만족하는 x는 존재합니다 (예: x=1/2).
따라서 진리집합 Q = \{x | 0 < x < 1\} \ne ∅이므로, 이 명제는 참입니다.
“모든”은 예외가 없어야 참, “어떤”은 하나라도 있으면 참이라는 점을 기억하세요! 😉
오늘은 조건 p(x) 앞에 “모든 x에 대하여” 또는 “어떤 x에 대하여”라는 한정사가 붙어 만들어지는 명제의 참/거짓을 진리집합과 전체집합의 관계를 통해 판별하는 방법을 배웠습니다. “모든”이 붙은 명제는 진리집합이 전체집합과 같을 때 참이 되고, “어떤”이 붙은 명제는 진리집합이 공집합이 아닐 때 참이 되었죠! 이 한정사의 의미를 정확히 이해하는 것은 논리적인 사고를 키우는 데 매우 중요하답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이러한 ‘모든’이나 ‘어떤’이 있는 명제의 ‘부정’은 어떻게 만드는지 알아보겠습니다. 🔄