두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 할 때, 명제 p \rightarrow q의 참/거짓과 진리집합 P, Q 사이의 포함 관계는 다음과 같아요.

• 명제 p \rightarrow q가 참이다 (p \Rightarrow q)
  ↔ P ⊂ Q (조건 p의 진리집합 P가 조건 q의 진리집합 Q에 포함된다.)
• 명제 p \rightarrow q가 거짓이다 (p \not\Rightarrow q)
  ↔ P ¬⊂ Q (진리집합 P가 진리집합 Q에 포함되지 않는다. 즉, P에는 속하지만 Q에는 속하지 않는 원소(반례)가 존재한다.)

또한, 두 명제 p \rightarrow q와 q \rightarrow p가 모두 참일 때, 즉 p \iff q (p와 q는 동치)인 경우는 두 진리집합이 P = Q일 때입니다.

개념정리 169-1: P가 Q에 쏙 들어가면 참!

명제 “p이면 q이다” (p \rightarrow q)가 참이라는 것은, 가정 p를 만족시키는 모든 경우가 결론 q도 만족시킨다는 뜻이었죠? 이것을 각 조건의 진리집합 P와 Q를 이용해서 생각해 봅시다.

• 명제 p \rightarrow q가 참일 때 (p \Rightarrow q):
  조건 p를 참으로 만드는 모든 원소 x (즉, x \in P)는 조건 q도 참으로 만들어야 해요 (즉, x \in Q).
  이것은 바로 집합 P의 모든 원소가 집합 Q에 포함된다는 의미이므로, P ⊂ Q가 성립합니다.
• 명제 p \rightarrow q가 거짓일 때 (p \not\Rightarrow q):
  조건 p를 만족하지만 (x \in P) 조건 q는 만족하지 않는 (x \notin Q) 반례가 존재한다는 뜻이에요.
  이것은 집합 P의 원소 중에서 집합 Q에 속하지 않는 원소가 존재한다는 의미이므로, P ¬⊂ Q가 됩니다. (즉, P – Q \ne ∅)

결국, 명제 p \rightarrow q의 참/거짓은 두 진리집합 P와 Q 사이의 부분집합 관계로 정확하게 판단할 수 있는 것이죠!

개념정리 169-2: 그림으로 이해하는 포함 관계

진리집합 사이의 포함 관계는 벤다이어그램을 이용하면 더욱 명확하게 이해할 수 있어요.

1. p \Rightarrow q (명제가 참) \iff P ⊂ Q

위 그림처럼 집합 P가 집합 Q 안에 완전히 포함되어 있다면, P에 속하는 모든 원소는 당연히 Q에도 속하게 됩니다. 따라서 “p이면 q이다”는 참이 됩니다.

2. p \not\Rightarrow q (명제가 거짓) \iff P ¬⊂ Q

만약 집합 P가 Q에 완전히 포함되지 않는다면 (즉, P의 원소 중에서 Q에 속하지 않는 원소, 즉 P-Q 영역에 원소가 존재한다면), 그 원소는 p는 만족하지만 q는 만족하지 않는 반례가 됩니다. 따라서 “p이면 q이다”는 거짓이 됩니다.