167 조건 ‘p 또는 q’, ‘p 그리고 q’와 그 부정: 진리집합과 드모르간! 🔗
안녕하세요, 논리의 연결고리를 탐험하는 친구들! 👋 지난 시간에는 조건 p(x)의 부정 ~p(x)와 그 진리집합(Pc)에 대해 배웠어요. 오늘은 두 개 이상의 조건이 ‘또는(or)‘ 또는 ‘그리고(and)‘로 연결된 경우, 이 새로운 결합 조건의 진리집합은 어떻게 되는지, 그리고 이 결합된 조건의 부정은 또 어떻게 표현되는지 알아볼 거예요. 이 내용은 집합의 연산인 합집합, 교집합, 그리고 드모르간의 법칙과 아주 밀접한 관련이 있답니다! 함께 그 관계를 파헤쳐 볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: 결합 조건과 그 부정의 진리집합!
전체집합 U에서 정의된 두 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 할 때,
- 1. 조건 ‘p 또는 q‘:
- 진리집합: P ∪ Q (p를 참으로 만들거나 또는 q를 참으로 만드는 원소들의 모임)
- 부정: ‘~p 그리고 ~q‘
(부정의 진리집합: (P ∪ Q)c = Pc ∩ Qc ← 드모르간의 법칙!)
- 2. 조건 ‘p 그리고 q‘:
- 진리집합: P ∩ Q (p도 참으로 만들고 그리고 q도 참으로 만드는 원소들의 모임)
- 부정: ‘~p 또는 ~q‘
(부정의 진리집합: (P ∩ Q)c = Pc ∪ Qc ← 드모르간의 법칙!)
🤝 조건 ‘p 또는 q’, ‘p 그리고 q’: 진리집합은 합집합, 교집합!
개념정리 167-1: 말과 집합의 연결!
두 조건 p와 q가 ‘또는‘ 또는 ‘그리고‘라는 접속사로 연결되면 새로운 조건이 만들어져요. 이 새로운 조건들의 진리집합은 각 조건의 진리집합 P, Q를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
1. 조건 ‘p 또는 q’ (p or q)
조건 ‘p 또는 q‘가 참이 되려면, p가 참이거나, q가 참이거나, 또는 p와 q가 모두 참이면 됩니다. 이것은 바로 두 진리집합 P와 Q의 합집합 P ∪ Q의 정의와 같아요!
(‘p 또는 q’의 진리집합) = P ∪ Q
2. 조건 ‘p 그리고 q’ (p and q)
조건 ‘p 그리고 q‘가 참이 되려면, p도 참이어야 하고 동시에 q도 참이어야 합니다. 이것은 바로 두 진리집합 P와 Q의 교집합 P ∩ Q의 정의와 같아요!
(‘p 그리고 q’의 진리집합) = P ∩ Q
🔄 결합된 조건의 부정: 드모르간의 법칙을 떠올려!
개념정리 167-2: ‘또는’은 ‘그리고’로, ‘그리고’는 ‘또는’으로!
‘또는’ 또는 ‘그리고’로 연결된 조건의 부정은 어떻게 될까요? 이것은 집합의 연산에서 배운 드모르간의 법칙과 똑같은 원리로 생각할 수 있어요!
1. 조건 ‘p 또는 q’의 부정: ~ (p \text{ 또는 } q) \iff ~p \text{ 그리고 } ~q
조건 ‘p 또는 q‘의 진리집합은 P ∪ Q였죠? 이 조건의 부정은 진리집합으로 보면 (P ∪ Q)c가 됩니다.
드모르간의 법칙에 의해 (P ∪ Q)c = Pc ∩ Qc 입니다.
여기서 Pc는 조건 ~p의 진리집합이고, Qc는 조건 ~q의 진리집합이며, 교집합 ∩은 ‘그리고’에 해당하므로,
조건 ‘p 또는 q‘의 부정은 “~p 그리고 ~q“가 됩니다.
2. 조건 ‘p 그리고 q’의 부정: ~ (p \text{ 그리고 } q) \iff ~p \text{ 또는 } ~q
조건 ‘p 그리고 q‘의 진리집합은 P ∩ Q였죠? 이 조건의 부정은 진리집합으로 보면 (P ∩ Q)c가 됩니다.
드모르간의 법칙에 의해 (P ∩ Q)c = Pc ∪ Qc 입니다.
여기서 Pc는 조건 ~p의 진리집합이고, Qc는 조건 ~q의 진리집합이며, 합집합 ∪은 ‘또는’에 해당하므로,
조건 ‘p 그리고 q‘의 부정은 “~p 또는 ~q“가 됩니다.
간단 정리! 🪄
“A 또는 B“의 부정은 “A가 아니고 그리고 B도 아니다.”
“A 그리고 B“의 부정은 “A가 아니거나 또는 B가 아니다.”
마치 괄호 밖의 ~ 기호가 안으로 들어가면서 ‘또는’은 ‘그리고’로, ‘그리고’는 ‘또는’으로 바뀌는 것과 같아요!
🧐 개념확인 문제: 조건의 부정 말하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 조건의 부정을 정확하게 말해봅시다!
실수 전체의 집합에서의 다음 조건의 부정을 말하시오. (PDF Check 문제)
- x=0 또는 x=1
- x=1 이고 y=2 이고 z=3
- -1 \le x < 2
- x < 0 또는 x > 1
정답 및 해설:
- 조건: “x=0 또는 x=1”
부정: “x \ne 0 그리고 x \ne 1“ - 조건: “x=1 이고 y=2 이고 z=3” (이것은 “(x=1 \text{ 이고 } y=2) 이고 z=3“으로 볼 수 있어요)
부정: “x \ne 1 또는 y \ne 2 또는 z \ne 3“ - 조건: “-1 \le x < 2” (이것은 “-1 \le x 그리고 x < 2“와 같아요)
부정: “-1 \not\le x 또는 x \not< 2“, 즉 “x < -1 또는 x \ge 2“ - 조건: “x < 0 또는 x > 1”
부정: “x \not< 0 그리고 x \not> 1“, 즉 “x \ge 0 그리고 x \le 1”
이것은 0 \le x \le 1 과 같습니다.
부정을 만들 때는 각 조건의 부정을 취하고, ‘또는’은 ‘그리고’로, ‘그리고’는 ‘또는’으로 바꿔주는 것이 핵심이에요! 😉
오늘은 두 조건 p, q가 ‘또는’ 또는 ‘그리고’로 연결된 경우의 진리집합과 그 부정에 대해 배웠습니다. ‘p 또는 q‘의 진리집합은 P \cup Q, ‘p 그리고 q‘의 진리집합은 P \cap Q였죠. 그리고 이들의 부정은 드모르간의 법칙을 이용하여 각각 ‘~p 그리고 ~q‘, ‘~p 또는 ~q‘가 된다는 것을 알았습니다. 이 관계는 집합의 연산과 논리의 연결고리를 보여주는 중요한 내용이랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 “p이면 q이다” 형태의 명제와 그 참/거짓을 진리집합으로 판단하는 방법에 대해 알아보겠습니다. ➡️