166 조건의 부정: ‘~p’의 진리집합은 P의 여집합! 🔄
안녕하세요, 논리의 반전을 찾아내는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 문자의 값에 따라 참/거짓이 결정되는 ‘조건’과, 그 조건을 참으로 만드는 원소들의 모임인 ‘진리집합’에 대해 배웠어요. 오늘은 명제에서와 마찬가지로, 어떤 조건 p(x)에 대하여 “p(x)가 아니다”라고 말하는 것, 즉 조건의 부정에 대해 알아볼 거예요. 그리고 이 부정된 조건의 진리집합은 원래 조건의 진리집합과 어떤 관계가 있는지, 벤다이어그램을 통해 명확하게 파악해 봅시다! 🌗
📝 핵심만정리: 조건의 부정과 그 진리집합!
- 조건의 부정 (Negation of a Condition):
- 조건 p(x)에 대하여 “p(x)가 아니다“를 조건 p(x)의 부정이라고 해요.
- 기호로는 ~p(x)와 같이 나타내고, “not p(x)” 또는 “p(x)가 아니다”라고 읽어요.
- 조건의 부정의 진리집합:
- 전체집합 U에서 정의된 조건 p(x)의 진리집합을 P라고 할 때, 조건 ~p(x)의 진리집합은 P의 여집합 Pc가 됩니다.
- 조건 부정의 부정:
- 명제에서와 마찬가지로 조건 ~p(x)의 부정, 즉 ~(~p(x))는 원래 조건 p(x)와 같아요. (~(~p(x)) = p(x))
- 따라서 ~(~p(x))의 진리집합은 (Pc)c = P가 됩니다.
~ 조건의 부정이란? (p(x)가 아니다!)
개념정리 166-1: 원래 조건을 반대로 말하기!
명제의 부정과 마찬가지로, 문자 x를 포함하는 조건 p(x)에 대하여 그 내용이 “아니다“라고 서술하는 것을 조건 p(x)의 부정이라고 해요. 그리고 이 부정된 새로운 조건을 기호로 ~p(x)와 같이 나타냅니다.
예시: (전체집합 U가 정수 전체의 집합일 때)
- 조건 p(x): “x는 4의 약수이다.”
→ p(x)의 부정 ~p(x): “x는 4의 약수가 아니다.” - 조건 q(x): “x > 0”
→ q(x)의 부정 ~q(x): “x \not> 0“, 즉 “x \le 0“ - 조건 r(x): “x = 3”
→ r(x)의 부정 ~r(x): “x \ne 3“
🌗 조건의 부정의 진리집합: 원래 진리집합의 여집합! (Pc)
개념정리 166-2: 반대의 진실을 담는 집합!
전체집합 U에서 정의된 조건 p(x)의 진리집합을 P라고 할 때 (즉, P는 p(x)를 참으로 만드는 모든 원소들의 모임), 조건의 부정 ~p(x)의 진리집합은 어떻게 될까요?
조건 ~p(x)는 “p(x)가 아니다”라는 뜻이므로, ~p(x)를 참으로 만드는 원소들은 바로 p(x)를 거짓으로 만드는 원소들이에요. 이것은 전체집합 U의 원소 중에서 집합 P에 속하지 않는 원소들의 모임과 같죠?
따라서, 조건 ~p(x)의 진리집합은 원래 조건 p(x)의 진리집합 P의 여집합 Pc가 됩니다!
(~p(x)의 진리집합) = Pc
예시:
전체집합 U = {1, 2, 3, 4, 5}에 대하여,
조건 p(x): “x는 4의 약수이다.”
이때 p(x)의 진리집합 P = {1, 2, 4} 입니다.
조건의 부정 ~p(x): “x는 4의 약수가 아니다.”
~p(x)를 참으로 만드는 U의 원소는 3과 5이므로, ~p(x)의 진리집합은 {3, 5}입니다.
그리고 이것은 정확히 Pc = U – P = {1,2,3,4,5} – {1,2,4} = {3,5} 와 일치합니다!
🔄 조건 부정의 부정: 역시나 원래대로! (~(~p) = p)
개념정리 166-3: 진리집합도 (Pc)c = P!
명제에서와 마찬가지로, 조건 ~p(x)의 부정, 즉 ~(~p(x))는 원래 조건 p(x)와 같아요.
“p(x)가 아니다”의 “아니다”는 결국 “p(x)이다”가 되기 때문이죠.
이것을 진리집합의 관점에서 보면, 조건 ~p(x)의 진리집합이 Pc이므로, 조건 ~(~p(x))의 진리집합은 (Pc)c가 됩니다. 그리고 우리는 여집합의 성질에서 (Pc)c = P임을 알고 있죠!
따라서 조건 부정의 부정은 원래 조건과 그 진리집합 모두 원래대로 돌아옵니다.
🧐 개념확인 문제: 조건의 부정과 진리집합 구하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 조건의 부정과 그 진리집합을 구해봅시다!
전체집합 U = {1, 2, 3, …, 10}에서의 조건 p(x)가 “x는 3의 배수이다.”일 때, 다음에 답하시오. (PDF Check 문제)
- 조건의 부정 ~p(x)를 구하시오.
- 조건 ~p(x)의 진리집합을 구하시오.
정답 및 해설:
- 조건의 부정 ~p(x):
원래 조건 p(x)가 “x는 3의 배수이다.”이므로,
그 부정 ~p(x)는 “x는 3의 배수가 아니다.” 입니다. - 조건 ~p(x)의 진리집합:
먼저 조건 p(x)의 진리집합 P를 구합니다.
전체집합 U에서 3의 배수는 {3, 6, 9}이므로, P = {3, 6, 9} 입니다.
조건 ~p(x)의 진리집합은 P의 여집합 Pc와 같습니다.
Pc = U – P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} – {3,6,9}
따라서 Pc = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} 입니다.
조건의 부정을 정확히 말하고, 그 진리집합이 원래 조건 진리집합의 여집합임을 이용하면 쉽게 해결할 수 있어요! 😉
오늘은 조건 p(x)의 부정 ~p(x)와 그 진리집합(Pc)에 대해 배웠습니다. 명제의 부정과 마찬가지로, 조건의 부정은 원래 조건을 반대로 표현하고, 그 진리집합은 원래 진리집합의 여집합이 된다는 중요한 관계를 알게 되었죠! 이 개념은 앞으로 배울 ‘또는’과 ‘그리고’로 연결된 조건의 부정, 그리고 명제 p \rightarrow q 등을 이해하는 데 기초가 된답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 ‘또는’ 또는 ‘그리고’로 연결된 조건과 그 부정에 대해 알아보겠습니다. 🔗