• 진리집합 (Truth Set):
  • 전체집합 U에서 정의된 조건 p(x)에 대하여, 그 조건 p(x)가 참이 되게 하는 전체집합 U의 모든 원소들의 집합.
  • 조건 p(x)의 진리집합은 보통 대문자 P로 나타내요. (조건 q(x)의 진리집합은 Q, r(x)의 진리집합은 R 등으로 나타냄)
  • 조건제시법으로 표현하면: P = {x | x ∈ U 이고, p(x)는 참이다} 또는 간단히 P = {x | p(x)} (단, x는 U의 원소임을 암묵적으로 가정).

개념정리 165-1: 조건의 참을 만드는 원소들의 집합!

우리가 어떤 조건 p(x)를 생각할 때, 이 조건은 x의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 한다고 했죠? 이때, 우리가 고려하는 전체 대상들의 모임인 전체집합 U의 원소들 중에서, 그 조건 p(x)를 참으로 만드는 모든 원소들을 모아놓은 집합을 바로 조건 p(x)의 진리집합이라고 합니다.

마치 어떤 수수께끼(조건)가 있을 때, 그 수수께끼를 풀 수 있는 모든 해답(원소)들을 모아놓은 보물 상자와 같아요! 💎

예를 들어, 전체집합 U가 자연수 전체의 집합이고, 조건 p(x)가 “x는 4의 약수이다”라고 해봅시다.

• x=1일 때: “1은 4의 약수이다.” (참)
• x=2일 때: “2는 4의 약수이다.” (참)
• x=3일 때: “3은 4의 약수이다.” (거짓)
• x=4일 때: “4는 4의 약수이다.” (참)
• x=5일 때: “5는 4의 약수이다.” (거짓)
• …

이때 조건 p(x)를 참으로 만드는 자연수들은 1, 2, 4이므로, 조건 p(x)의 진리집합 P는 P = {1, 2, 4}가 됩니다.

개념정리 165-2: 전체집합 안에서 생각하기!

어떤 조건의 진리집합을 구할 때는 항상 전체집합 U가 무엇인지 먼저 확인해야 해요. 왜냐하면 진리집합은 전체집합 U의 원소들 중에서 조건을 만족하는 것들만 모은 부분집합이기 때문입니다.

진리집합을 구하는 과정은 다음과 같아요:

1. 주어진 조건 p(x)를 확인합니다.
2. 전체집합 U의 원소들을 하나씩 조건 p(x)에 대입해보거나, 조건을 만족하는 x의 값을 직접 찾습니다. (예: 방정식을 풀거나 부등식을 풂)
3. 조건 p(x)를 참으로 만드는 모든 원소들을 모아서 집합으로 표현합니다.