162 명제의 부정: ‘아니다’의 세계, 참과 거짓의 반전! ~🙃
안녕하세요, 논리의 반전을 탐구하는 친구들! 👋 지난 시간에는 참 또는 거짓을 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식인 ‘명제’에 대해 배웠어요. 오늘은 어떤 명제 p에 대하여 “p가 아니다”라고 말하는 것, 즉 명제의 부정에 대해 알아볼 거예요. 명제의 부정은 원래 명제와 참/거짓 관계에서 아주 흥미로운 반전 매력을 보여준답니다! 함께 그 세계로 들어가 볼까요? 🔄
📝 핵심만정리: 명제의 부정, 이렇게 이해해요!
- 명제의 부정 (Negation):
- 명제 p에 대하여 “p가 아니다“를 명제 p의 부정이라고 해요.
- 기호로는 ~p와 같이 나타내고, “not p” 또는 “p가 아니다”라고 읽어요.
- 명제와 그 부정의 참/거짓 관계:
- 원래 명제 p가 참이면, 그 부정 ~p는 반드시 거짓이 됩니다.
- 원래 명제 p가 거짓이면, 그 부정 ~p는 반드시 참이 됩니다.
- 부정의 부정:
- 명제 ~p의 부정, 즉 ~(~p)는 원래 명제 p와 같아요. (~(~p) = p)
~ 명제의 부정이란? (p가 아니다!)
개념정리 162-1: 원래 명제를 반대로 말하기!
어떤 명제 p가 주어졌을 때, 그 명제의 내용에 대하여 “~가 아니다“라고 서술하는 것을 명제 p의 부정(Negation)이라고 해요. 그리고 이 부정된 새로운 명제를 기호로 ~p와 같이 나타냅니다. 읽을 때는 “not p (낫 피)” 또는 “p가 아니다”라고 읽으면 됩니다.
예시:
- 명제 p: “2는 소수이다.”
→ p의 부정 ~p: “2는 소수가 아니다.” - 명제 q: “3은 짝수이다.”
→ q의 부정 ~q: “3은 짝수가 아니다.” - 명제 r: “2+3=5”
→ r의 부정 ~r: “2+3 \ne 5” (즉, 2+3은 5가 아니다.)
처럼, 원래 명제의 서술을 반대로 표현하는 것이 바로 ‘부정’이랍니다.
🎭 명제와 그 부정의 참/거짓 관계: 정반대!
개념정리 162-2: 하나가 참이면 다른 하나는 거짓!
명제 p와 그 부정 ~p 사이에는 아주 중요한 참/거짓 관계가 있어요. 바로 서로 반대의 진리값을 갖는다는 것입니다!
- 만약 원래 명제 p가 참이라면, 그 부정 ~p는 반드시 거짓이 됩니다.
- 만약 원래 명제 p가 거짓이라면, 그 부정 ~p는 반드시 참이 됩니다.
예시:
- 명제 p: “2는 소수이다.” → 참인 명제죠?
그 부정 ~p: “2는 소수가 아니다.” → 이것은 거짓인 명제가 됩니다. - 명제 q: “3은 짝수이다.” → 거짓인 명제죠?
그 부정 ~q: “3은 짝수가 아니다.” → 이것은 참인 명제가 됩니다.
🔄 부정의 부정은? 원래대로 돌아와! (~(~p) = p)
개념정리 162-3: 두 번 뒤집으면 제자리!
어떤 명제 p의 부정 ~p에 대해 다시 부정을 취하면, 즉 ~(~p)를 생각하면 어떻게 될까요?
“p가 아니다”의 “아니다”는 결국 “p이다”가 되겠죠? 마치 두 번 뒤집으면 원래 모습으로 돌아오는 것처럼, 명제에서도 부정의 부정은 원래 명제와 같아요.
~(~p) = p
따라서 ~(~p)의 참/거짓은 원래 명제 p의 참/거짓과 항상 일치합니다.
🧐 개념확인 문제: 명제의 부정 만들고 참/거짓 판별!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 명제의 부정을 만들고, 그 부정의 참/거짓을 판별해 봅시다!
다음 명제의 부정을 말하고, 그것의 참, 거짓을 판별하시오. (PDF Check 문제)
- 1⁄2은 유리수이다.
- 2√2 > 3
- 3은 6의 약수이다.
- 2+3 = 6
정답 및 해설:
- 명제: “1⁄2은 유리수이다.” (참)
부정: “1⁄2은 유리수가 아니다.” → 거짓
(주의: “무리수이다”라고 단정하면 안 돼요. 유리수가 아닌 수 중에는 허수도 있을 수 있습니다. ) - 명제: “2√2 > 3” ((2√2)2 = 8, 32 = 9이므로 8 < 9. 즉, 2√2 < 3이므로 원래 명제는 거짓)
부정: “2√2 \le 3” (‘>’의 부정은 ‘<=' 입니다.) → 참 - 명제: “3은 6의 약수이다.” (참)
부정: “3은 6의 약수가 아니다.” → 거짓 - 명제: “2+3 = 6” (거짓, 2+3=5)
부정: “2+3 \ne 6” (즉, 2+3은 6이 아니다.) → 참
명제의 부정을 만들 때는 서술어 부분을 반대로 표현하고, 부등호의 경우 그 반대 관계를 정확히 표현하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 명제 p에 대하여 “p가 아니다”를 의미하는 명제의 부정 ~p에 대해 배웠습니다. 원래 명제가 참이면 그 부정은 거짓이 되고, 원래 명제가 거짓이면 그 부정은 참이 되는 정반대의 관계를 가졌죠! 또한, 부정의 부정은 원래 명제와 같다는 것도 알게 되었습니다. 이 명제의 부정 개념은 앞으로 배울 조건의 부정, 그리고 명제의 역, 이, 대우 등을 이해하는 데 기초가 된답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 수학에서 사용되는 용어들의 뜻을 명확히 정하는 ‘정의’와, 이미 참임이 밝혀진 명제인 ‘정리’, 그리고 명제가 참임을 설명하는 과정인 ‘증명’에 대해 알아보겠습니다. 📜