쎈 공통수학1 159번 풀이 — 계수비교법으로 항등식의 상수 구하기
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📋 이 포스팅에 포함된 내용
- 풀이 영상 2개 (개념 설명 + 문제 풀이)
- 해설 이미지 (교재 답지 원본)
- 문제 분석 — 단서 찾기 & 풀이 연결
- 풀이 과정 — 기초부터 단계별 설명
- 꿀팁 — 계수비교법 외워두면 좋은 패턴
- 실수 주의 포인트 & 시간 관리 전략
- 관련 연산 워크시트 · 개념 포스트 · 추천 문제집 링크
🎬 풀이 영상
▲ 159번 핵심 풀이 영상
▲ 159번 계수비교법 상세 풀이 영상
🔍 문제 분석
모든 실수 x에 대해 삼차식이 두 다항식의 곱으로 표현된 항등식이 주어져 있을 때, 우변을 전개한 뒤 양변의 계수를 비교하여 상수 a, b, c의 값을 구하고, a + b + c의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 문제에서 단서 찾기
① “모든 실수 x에 대하여” → 이 표현이 나오면 항등식입니다! 좌변과 우변이 어떤 x를 넣어도 항상 같다는 뜻이에요.
② 좌변은 전개된 형태, 우변은 곱셈 형태 → 우변을 전개해서 같은 차수끼리 계수를 비교하면 됩니다.
③ 좌변에 x의 1차 항이 없다(계수가 0) → 이것도 중요한 조건이에요!
📝 풀이 과정
1 우변을 전개하기
우변의 두 괄호를 곱해서 펼쳐볼게요. 차근차근 분배법칙을 적용합니다.
= x³ + bx² − 12x + cx² + bcx − 12c
= x³ + (b + c)x² + (bc − 12)x − 12c
💡 전개할 때 같은 차수끼리 묶어주는 것이 핵심이에요!
2 양변의 계수 비교하기
좌변과 우변이 항등식이므로, 같은 차수의 계수끼리 같아야 합니다.
우변: x³ + (b+c)x² + (bc−12)x − 12c
x² 계수: a = b + c ···①
x¹ 계수: 0 = bc − 12 ···②
상수항: −36 = −12c ···③
3 상수값 구하기
가장 쉽게 풀리는 것부터 차례대로 구해볼게요!
②에서: bc − 12 = 0 → 3b = 12 → b = 4
①에서: a = b + c = 4 + 3 → a = 7
📌 상수항(③)이 가장 간단하니까 여기서부터 시작하는 게 포인트!
4 최종 답 구하기
🧠 외워두면 좋은 패턴
패턴 1) “모든 실수 x에 대하여” = 항등식 → 계수비교법 또는 수치대입법 사용!
패턴 2) 계수비교법 순서: 우변 전개 → 동류항 정리 → 같은 차수의 계수끼리 등식 세우기
패턴 3) 미지수가 3개면 등식도 3개 → 가장 간단한 등식(보통 상수항)부터 풀면 빠르게 구할 수 있어요!
패턴 4) 좌변에 특정 차수의 항이 없다 = 해당 차수의 계수가 0이라는 뜻! (이걸 놓치면 등식이 하나 빠져요)
⚠️ 자주 하는 실수
실수 1) 좌변의 x 1차항이 없는 걸 간과하고, “0 = bc − 12″라는 등식을 빠뜨리는 경우가 많아요. 항이 보이지 않으면 “계수가 0이다”라고 반드시 적어두세요!
실수 2) 전개할 때 부호 실수! 특히 −12 × c = −12c에서 부호를 틀리는 친구들이 있어요. 음수 × 양수 = 음수, 꼭 확인하세요.
실수 3) a + b + c를 구하라고 했는데 abc를 구하는 실수! 문제에서 무엇을 구하라고 했는지 꼭 밑줄 치고 시작하세요.
💡 선생님의 꿀팁
이 문제는 계수비교법의 가장 기본적인 유형이에요. “우변 전개 → 동류항 정리 → 계수 비교”라는 3단계 흐름만 몸에 익히면, 더 어려운 항등식 문제도 같은 패턴으로 풀 수 있답니다.
만약 전개가 복잡해지는 문제가 나오면, 수치대입법(특정 x값을 넣는 방법)으로 바꿔 푸는 것도 방법이에요. 유형 02에서 배울 내용이니 함께 연습해두면 좋아요!
⏱️ 시간 관리 전략
내신 시험
2분 30초
수능 시험
1분 30초
✅ 전개 연습을 많이 해서 분배법칙을 자동으로 할 수 있도록 훈련하세요.
✅ “항이 없다 = 계수 0” 패턴을 반사적으로 떠올리는 습관을 들이세요.
✅ 상수항 → 1차항 → 2차항 순서로 쉬운 것부터 풀면 시간 낭비를 줄일 수 있어요.
✅ 아래 연산 워크시트로 전개 + 계수비교 반복 훈련하면 속도가 확 올라갑니다!
📖 해설 이미지
교재 답지 해설을 확인하세요.
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📖 개념사전 013. 항등식과 방정식의 구분 📖 개념사전 014. 항등식의 성질 이해 📖 개념사전 015. 미정계수법 활용 📖 개념사전 006. 식 전개하기 📖 개념사전 007. 다항식 곱셈의 연산법칙 📖 개념사전 008. 곱셈공식 정리 📖 개념사전 001. 다항식의 기본 용어 📖 개념사전 002. 다항식 정리하기3️⃣ 추천 문제집 (마플시너지 공수1)
마플시너지 공통수학1에서 항등식과 미정계수법 단원의 유사 문제를 함께 풀어보면 실력이 빠르게 올라요! 계수비교법과 수치대입법을 번갈아 연습해보세요.
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