158 배수의 집합 연산 특강: 최소공배수와 약수·배수 관계 활용! 🔢
안녕하세요, 수의 규칙성을 사랑하는 탐험가 친구들! 👋 집합의 연산을 배우다 보면, 특별한 규칙을 가진 원소들로 이루어진 집합들의 연산에 대해 궁금증이 생길 수 있어요. 오늘은 그중에서도 자연수 k의 양의 배수들의 집합을 Ak라고 표현했을 때, 이러한 배수의 집합들 사이의 교집합(∩)과 합집합(∪)이 어떤 재미있는 성질을 갖는지 알아볼 거예요. 이 성질들은 최소공배수와 약수·배수 관계와 아주 밀접한 관련이 있답니다! 함께 그 규칙을 찾아볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: 배수의 집합 연산 규칙!
자연수 k, m, n에 대하여, Ak를 자연수 k의 양의 배수의 집합이라고 할 때 다음이 성립해요.
- 1. 배수의 집합의 교집합 (Am ∩ An):
→ m의 배수이면서 동시에 n의 배수인 수들의 집합, 즉 m과 n의 공배수들의 집합입니다.
→ 따라서 Am ∩ An = Ak (여기서 k는 m과 n의 최소공배수) - 2. 배수의 집합의 합집합 (Am ∪ An):
→ 일반적으로 간단한 Ap 형태로 표현되지 않아요.
→ 단, m이 n의 약수 (또는 n이 m의 배수)일 때만, An ⊂ Am이므로,
Am ∪ An = Am 이 됩니다. (더 큰 집합이 결과가 됨)
🤔 배수의 집합 Ak란 무엇일까요?
개념정리 158-1: k, 2k, 3k, …들의 모임!
자연수 k에 대하여, Ak는 k의 양의 배수들을 원소로 갖는 집합을 의미해요. (교재에서는 ‘양의 배수’로 명시하고 있으나, 때로는 문맥에 따라 그냥 ‘배수’라고 하기도 합니다. 여기서는 교재의 정의를 따를게요!)
예를 들어,
- A2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …} (2의 양의 배수의 집합)
- A3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, …} (3의 양의 배수의 집합)
- A4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, …} (4의 양의 배수의 집합)
이처럼 Ak는 k를 시작으로 k씩 커지는 수들의 무한집합이랍니다.
∩ 배수의 집합의 교집합: 공배수는 최소공배수의 배수!
개념정리 158-2: Am ∩ An = A(m과 n의 최소공배수)
두 자연수 m, n에 대하여, Am ∩ An은 m의 배수이면서 동시에 n의 배수인 수들의 집합, 즉 m과 n의 공배수들의 집합을 의미해요.
그리고 우리는 “두 수의 공배수는 그 두 수의 최소공배수의 배수이다”라는 중요한 성질을 알고 있죠? 따라서 m과 n의 최소공배수를 L이라고 하면, Am ∩ An은 바로 L의 배수의 집합, 즉 AL과 같아집니다.
Am ∩ An = A(m과 n의 최소공배수)
예시:
A2 = {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}
A3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, …}
2와 3의 최소공배수는 6이므로,
A2 ∩ A3 = {6, 12, 18, …} = A6 입니다.
∪ 배수의 집합의 합집합: 약수·배수 관계일 때만 간단!
개념정리 158-3: Am ∪ An = Am (단, m이 n의 약수일 때)
두 자연수 m, n에 대하여, Am ∪ An은 m의 배수이거나 또는 n의 배수인 수들의 집합을 의미해요.
일반적으로 Am ∪ An은 Ak와 같은 간단한 형태로 표현되지 않아요. 예를 들어 A2 ∪ A3 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, …}인데, 이 집합은 어떤 하나의 수의 배수들의 집합으로 나타낼 수 없죠.
하지만, 두 수 m, n 사이에 약수와 배수의 관계가 있을 때는 이야기가 달라져요!
만약 m이 n의 약수라면 (즉, n이 m의 배수라면), n의 모든 배수는 당연히 m의 배수도 됩니다. 따라서 An의 모든 원소는 Am에 포함되므로, An ⊂ Am이 성립해요.
이 경우, 두 집합의 합집합은 더 큰 집합인 Am이 됩니다.
Am ∪ An = Am (단, m이 n의 약수일 때)
예시:
A4 = {4, 8, 12, 16, …}
A8 = {8, 16, 24, 32, …}
여기서 4는 8의 약수이므로 A8 ⊂ A4입니다.
따라서 A4 ∪ A8 = {4, 8, 12, 16, …} = A4 입니다.
🧐 개념확인 문제: 배수의 집합 연산하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 배수의 집합에 대한 연산 문제를 풀어봅시다!
자연수 전체의 집합의 부분집합 Ak = {x | x는 k의 배수}에 대하여 다음에 답하시오. (PDF Check 문제)
- An ⊂ (A4 ∩ A6)을 만족시키는 자연수 n의 최솟값을 구하시오.
- (A2 ∪ A3) ∩ A4 = An을 만족시키는 자연수 n의 값을 구하시오.
정답 및 해설:
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먼저 A4 ∩ A6을 구합니다. 4와 6의 최소공배수는 12이므로,
A4 ∩ A6 = A12 입니다.주어진 조건은 An ⊂ A12 입니다. n의 배수의 집합이 12의 배수의 집합에 포함되려면, n은 12의 배수여야 합니다.
(예: A24 ⊂ A12, A36 ⊂ A12 등)따라서 자연수 n의 최솟값은 12 입니다.
-
(A2 ∪ A3) ∩ A4를 분배법칙을 이용하여 정리합니다.
= (A2 ∩ A4) ∪ (A3 ∩ A4)
– A2 ∩ A4: 2와 4의 최소공배수는 4이므로, A2 ∩ A4 = A4 입니다.
– A3 ∩ A4: 3과 4의 최소공배수는 12이므로, A3 ∩ A4 = A12 입니다.
따라서 주어진 식은 A4 ∪ A12가 됩니다.
여기서 4는 12의 약수이므로 A12 ⊂ A4입니다.
그러므로 A4 ∪ A12 = A4 입니다.결국 A4 = An이므로, n = 4 입니다.
배수의 집합 연산은 최소공배수와 약수·배수 관계를 잘 이해하고 적용하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 자연수 k의 양의 배수의 집합 Ak에 대한 교집합과 합집합 연산의 특별한 성질들에 대해 배웠습니다. 교집합 Am ∩ An은 m과 n의 최소공배수의 배수의 집합이 되었고, 합집합 Am ∪ An은 한쪽이 다른 쪽의 약수·배수 관계일 때만 간단하게 표현되었죠? 이 성질들을 잘 익혀두면 배수의 집합과 관련된 문제를 해결하는 데 큰 도움이 될 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 유한집합의 ‘원소의 개수’를 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다. 💯