157 대칭차집합 특강: (A-B)∪(B-A)의 숨겨진 의미! 🌗
안녕하세요, 집합 연산의 패턴을 찾는 탐험가 친구들! 👋 집합의 연산에는 합집합, 교집합, 여집합, 차집합 외에도 이들을 조합하여 만드는 특별한 연산들이 있어요. 오늘은 그중에서 자주 등장하는 대칭차집합(Symmetric Difference)에 대해 알아볼 거예요. 대칭차집합은 두 집합 A와 B에서 어느 한쪽에만 속하는 원소들의 모임을 의미하며, 기호로는 A ▵ B (또는 교재에 따라 A \oplus B 등 다른 기호를 사용하기도 함)와 같이 나타냅니다. 마치 두 집합의 벤다이어그램에서 겹치지 않는 양쪽 날개 부분만 생각하는 것과 같아요! 함께 그 의미와 성질을 파헤쳐 볼까요? 🦋
📝 핵심만정리: 대칭차집합 A△B의 모든 것!
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 대칭차집합 A ▵ B는 다음과 같이 정의되고 표현될 수 있어요.
- 정의: A ▵ B = (A-B) ∪ (B-A)
→ A에만 속하거나 B에만 속하는 원소들의 합집합. - 같은 표현들:
- (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac) (차집합을 교집합과 여집합으로 표현)
- (A ∪ B) – (A ∩ B) (두 집합의 합집합에서 교집합 부분을 제외)
- (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c (합집합과 교집합의 여집합의 공통부분)
- 주요 성질:
- 교환법칙: A ▵ B = B ▵ A
- 결합법칙: (A ▵ B) ▵ C = A ▵ (B ▵ C)
- A ▵ ∅ = A
- A ▵ A = ∅
🤔 대칭차집합이란 무엇일까요? (한쪽에만 속하는 원소들!)
개념정리 157-1: 벤다이어그램의 양쪽 날개!
두 집합 A와 B가 있을 때, 이 두 집합의 대칭차집합은 이름에서 ‘대칭’이라는 말이 들어간 것처럼, 벤다이어그램에서 두 원이 겹치는 부분을 제외한 양쪽 날개 부분에 해당하는 원소들의 모임을 말해요.
정의에 따르면, 대칭차집합 A ▵ B는
(A-B) ∪ (B-A)
입니다.
- A-B는 집합 A에만 속하는 원소들의 집합 (A의 왼쪽 날개)
- B-A는 집합 B에만 속하는 원소들의 집합 (B의 오른쪽 날개)
이 두 부분을 합친 것이 바로 대칭차집합이 되는 것이죠! 그래서 “공통차집합”이라고도 불립니다.
🎭 대칭차집합의 다양한 표현과 성질들
개념정리 157-2: 변신의 귀재, 대칭차집합!
대칭차집합 A ▵ B는 정의 외에도 다음과 같은 여러 가지 형태로 표현될 수 있어요. 이 표현들은 집합의 연산 법칙을 이용하여 서로 변환될 수 있답니다.
- (A-B) ∪ (B-A) (정의)
- (A ∩ Bc) ∪ (B ∩ Ac) (차집합을 X-Y = X \cap Y^c로 바꾼 형태)
- (A ∪ B) – (A ∩ B) (두 집합의 합집합에서 교집합 부분을 뺀 것)
→ 이 형태가 의미를 이해하거나 계산할 때 가장 직관적이고 편리할 수 있어요! “합집합에서 교집합 빼기!” - (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)c (위 식을 드모르간 법칙 등으로 변형)
또한, 대칭차집합 연산(▵)은 다음과 같은 중요한 연산 성질들을 만족해요.
- 교환법칙 성립: A ▵ B = B ▵ A
((A-B)\cup(B-A) 와 (B-A)\cup(A-B)는 같죠?) - 결합법칙 성립: (A ▵ B) ▵ C = A ▵ (B ▵ C)
(세 집합의 대칭차집합은 연산 순서에 관계없이 결과가 같아요.) - 항등원 역할 (∅): A ▵ ∅ = (A-∅) \cup (∅-A) = A \cup ∅ = A
- 자기 자신과의 연산: A ▵ A = (A-A) \cup (A-A) = ∅ \cup ∅ = ∅
🧐 개념확인 문제: 대칭차집합의 변형!
이제 배운 대칭차집합의 성질과 표현 방법을 이용해서 주어진 식을 변형해 봅시다!
전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 연산 ⊕를 A \oplus B = (A-B) ∪ (B-A)로 정의할 때, Ac ⊕ Bc = A \oplus B임을 설명하시오. (PDF Check 문제)
정답 및 해설:
주어진 정의에 따라 Ac ⊕ Bc를 풀어 써봅시다.
Ac ⊕ Bc = (Ac – Bc) ∪ (Bc – Ac)
여기서 차집합의 성질 X – Y = X ∩ Yc를 이용하면,
= \{Ac ∩ (Bc)c\} ∪ \{Bc ∩ (Ac)c\}
여집합의 여집합은 자기 자신이므로 (Xc)c = X 입니다.
= (Ac ∩ B) ∪ (Bc ∩ A)
교집합의 교환법칙(X ∩ Y = Y ∩ X)을 적용하고, 다시 차집합으로 표현하면,
= (B ∩ Ac) ∪ (A ∩ Bc)
= (B – A) ∪ (A – B)
합집합의 교환법칙에 의해,
= (A – B) ∪ (B – A)
이것은 바로 A \oplus B의 정의와 같습니다.
따라서 Ac ⊕ Bc = A \oplus B가 성립합니다.
대칭차집합은 그 정의와 다양한 동치 표현, 그리고 연산 성질들을 잘 이해하고 활용하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 두 집합 A와 B에 대하여 어느 한쪽에만 속하는 원소들의 모임인 ‘대칭차집합’의 정의와 여러 가지 표현 방법, 그리고 중요한 연산 성질들에 대해 배웠습니다. 특히 (A ∪ B) – (A ∩ B)라는 표현은 대칭차집합을 직관적으로 이해하는 데 도움이 되었죠? 이 대칭차집합은 집합 문제에서 종종 등장하는 특별한 연산이니 잘 기억해두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 특강에서는 자연수의 배수의 집합에 대한 연산에 대해 알아보겠습니다. 🔢