150 합집합, 교집합, 서로소: 집합들의 만남과 관계! 🤝
안녕하세요, 집합의 세계를 탐험하는 친구들! 👋 여러 개의 집합이 있을 때, 이 집합들을 가지고 새로운 집합을 만들거나 그 관계를 살펴보는 것을 집합의 연산이라고 해요. 오늘은 그중에서도 가장 기본이 되는 세 가지 개념, 바로 합집합, 교집합, 그리고 두 집합 사이에 공통된 원소가 하나도 없는 특별한 관계인 서로소에 대해 알아볼 거예요. 이 연산들은 마치 숫자들의 덧셈, 곱셈처럼 집합을 다루는 기본적인 방법이랍니다! 벤다이어그램을 이용하면 더욱 쉽게 이해할 수 있어요. 함께 시작해 볼까요? 🎨
📝 핵심만정리: 합집합, 교집합, 서로소!
두 집합 A, B에 대하여:
- 합집합 (Union, A ∪ B):
→ 집합 A에 속하거나 또는 집합 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합.
→ 조건제시법: A ∪ B = {x | x ∈ A 또는 x ∈ B} - 교집합 (Intersection, A ∩ B):
→ 집합 A에도 속하고 그리고 집합 B에도 속하는 모든 원소로 이루어진 집합. (공통 원소)
→ 조건제시법: A ∩ B = {x | x ∈ A 그리고 x ∈ B} - 서로소 (Disjoint):
→ 두 집합 A, B에 공통인 원소가 하나도 없을 때, 즉 A ∩ B = ∅일 때, A와 B는 서로소라고 해요.
공집합(∅)은 모든 집합과 서로소입니다.
∪ 합집합: 모두 모여라! (A 또는 B)
개념정리 150-1: A에도 있고 B에도 있는 원소, 한 번만!
두 집합 A와 B가 있을 때, 이 두 집합의 합집합은 집합 A에 속하는 원소들과 집합 B에 속하는 원소들을 모두 합쳐서 만든 새로운 집합을 의미해요. 즉, 어떤 원소가 A에 있거나 또는 B에 있으면 (또는 둘 다에 있어도) 합집합의 원소가 됩니다.
합집합은 기호 ∪ (컵 모양)를 사용하여 A ∪ B와 같이 나타냅니다.
주의할 점! 합집합을 만들 때, A와 B에 공통으로 들어있는 원소는 한 번만 씁니다. (집합에서는 같은 원소를 중복해서 쓰지 않으니까요!)
예시:
집합 A = {1, 2, 3}, 집합 B = {1, 3, 5, 7}일 때,
A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7} 입니다. (1과 3은 공통이지만 한 번만 썼죠?)
∩ 교집합: 공통된 것만 모여라! (A 그리고 B)
개념정리 150-2: 두 집합 모두에 속하는 원소들!
두 집합 A와 B가 있을 때, 이 두 집합의 교집합은 집합 A에도 속하고 동시에 집합 B에도 속하는, 즉 공통으로 들어있는 원소들로만 이루어진 새로운 집합을 의미해요.
교집합은 기호 ∩ (모자 모양)를 사용하여 A ∩ B와 같이 나타냅니다.
예시:
집합 A = {1, 2, 3}, 집합 B = {1, 3, 5, 7}일 때,
두 집합에 공통으로 들어있는 원소는 1과 3이므로,
A ∩ B = {1, 3} 입니다.
🚫 서로소: 공통점이 하나도 없어요! (A ∩ B = ∅)
개념정리 150-3: 교집합이 공집합일 때!
두 집합 A와 B 사이에 공통된 원소가 하나도 없을 때, 즉 두 집합의 교집합이 공집합(∅)일 때, 우리는 “집합 A와 집합 B는 서로소(Disjoint)이다”라고 말해요.
A와 B가 서로소 ⇔ A ∩ B = ∅
예시:
집합 C = {x | x는 짝수인 자연수} = {2, 4, 6, …}
집합 D = {x | x는 홀수인 자연수} = {1, 3, 5, …}
두 집합 C와 D에는 공통으로 들어있는 원소가 하나도 없으므로, C ∩ D = ∅입니다.
따라서 집합 C와 D는 서로소입니다.
공집합은 모두와 서로소! 🤝
공집합(∅)은 어떤 집합과도 공통인 원소를 가질 수 없으므로 (원래 원소가 없으니까요!), 공집합은 모든 집합과 서로소 관계에 있습니다.
🧐 개념확인 문제: 합집합, 교집합, 서로소 판별!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 집합들의 합집합, 교집합을 구하고 서로소 관계인지 판별해 봅시다!
세 집합 A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {1, 3, 9}에 대하여 다음을 구하시오. (PDF Check 문제)
- A ∩ B
- B ∪ C
- A ∩ C (집합 A와 C는 서로소인가?)
정답 및 해설:
- A ∩ B:
A와 B에 공통으로 속하는 원소는 2와 4입니다.
따라서 A ∩ B = {2, 4} - B ∪ C:
B에 속하거나 C에 속하는 모든 원소를 모으면 {1, 2, 3, 4, 5, 9} 입니다.
따라서 B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 9} - A ∩ C:
A와 C에 공통으로 속하는 원소가 없습니다.
따라서 A ∩ C = ∅.
두 집합의 교집합이 공집합이므로, 집합 A와 C는 서로소이다.
벤다이어그램을 그려서 생각하면 각 연산의 결과를 더 쉽게 파악할 수 있어요! 😉
오늘은 두 집합 A, B에 대하여 A 또는 B에 속하는 원소들의 모임인 ‘합집합(A ∪ B)’, A 그리고 B에 공통으로 속하는 원소들의 모임인 ‘교집합(A ∩ B)’, 그리고 공통 원소가 하나도 없는 관계인 ‘서로소’에 대해 배웠습니다. 이 세 가지 개념은 집합의 연산을 이해하는 데 가장 기본이 되니 꼭 기억해주세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이러한 집합 연산들이 가지는 여러 가지 법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등)에 대해 알아보겠습니다. ➕✖️🔄