145 유한집합, 무한집합, 공집합: 원소의 개수로 알아보는 집합의 종류! 🔢
안녕하세요, 집합의 크기를 탐구하는 친구들! 👋 우리가 집합이 무엇인지, 그리고 집합을 표현하는 방법까지 배웠죠? 오늘은 집합을 그 원소의 개수에 따라 어떻게 분류할 수 있는지 알아볼 거예요. 원소의 개수가 셀 수 있을 만큼 한정되어 있는지, 아니면 끝없이 많은지에 따라 집합의 종류가 나뉜답니다. 그리고 아주 특별하게, 원소가 하나도 없는 집합도 있어요! 함께 이 다양한 집합의 종류들을 만나볼까요? 🌌
📝 핵심만정리: 집합의 분류와 원소 개수!
집합은 원소의 개수에 따라 다음과 같이 분류해요.
- 유한집합 (Finite Set): 원소의 개수가 유한개인 집합.
(예: {1, 2, 3}, 100 이하의 자연수의 집합) - 무한집합 (Infinite Set): 원소의 개수가 무한히 많은 집합.
(예: 자연수 전체의 집합, 실수 전체의 집합) - 공집합 (Empty Set, Null Set): 원소가 하나도 없는 집합. 기호로는 ∅ 또는 {}와 같이 나타내요.
공집합도 유한집합에 속합니다! (원소의 개수가 0개로 유한하니까요.) - 유한집합의 원소의 개수: 집합 A가 유한집합일 때, 집합 A의 원소의 개수를 기호로 n(A)와 같이 나타내요.
(예: A = {1, 2, 3}이면 n(A) = 3. 공집합 ∅의 경우 n(∅) = 0 입니다. )
↔️ 유한집합과 무한집합: 원소의 개수가 기준!
개념정리 145-1: 셀 수 있느냐, 없느냐!
집합을 분류하는 가장 기본적인 기준 중 하나는 그 집합에 속한 원소의 개수예요.
- 유한집합 (Finite Set):
말 그대로, 원소의 개수가 유한개인 집합을 말해요. 즉, 원소의 개수를 하나, 둘, 셋… 이렇게 세어서 “몇 개다!”라고 정확히 말할 수 있는 집합이죠.
예:- A = {x | x는 5보다 작은 자연수} = {1, 2, 3, 4}. (원소 4개)
- 100 이하의 짝수의 집합. (원소 50개)
- 무한집합 (Infinite Set):
반대로, 원소의 개수가 무한히 많아서 그 끝을 알 수 없는 집합을 말해요.
예:- B = {x | x는 5보다 작은 정수} = {4, 3, 2, 1, 0, -1, …}. (원소 무한개)
- 자연수 전체의 집합 N = {1, 2, 3, …}.
- 실수 전체의 집합 R.
∅ 공집합: 아무것도 없는 특별한 집합!
개념정리 145-2: 원소가 0개인 유한집합
집합 중에서 아주 특별한 집합이 있어요. 바로 원소가 하나도 없는 집합인데, 이것을 공집합(Empty Set 또는 Null Set)이라고 불러요.
공집합은 다음과 같은 기호로 나타냅니다:
∅ 또는 {}
예를 들어, “1보다 작은 자연수의 집합”은 해당하는 자연수가 없으므로 공집합이 됩니다. (C = {x | x는 x<1인 자연수} = ∅)
여기서 중요한 점! 공집합은 원소의 개수가 0개로 유한하기 때문에 유한집합에 포함된답니다!
∅ vs {∅}는 달라요! ⚠️
∅는 원소가 하나도 없는 집합을 의미하지만, {∅}는 공집합 기호 ∅ 자체를 하나의 원소로 갖는 집합이에요. 따라서 {∅}는 원소가 1개인 유한집합이며, 공집합이 아니랍니다! (∅ ∈ {∅}가 성립해요.)
n(A) 유한집합의 원소의 개수 표현하기
개념정리 145-3: Number of elements!
집합 A가 유한집합일 때, 그 집합 A에 속하는 원소의 개수를 나타내는 특별한 기호가 있어요. 바로 n(A)입니다. (Number of elements in set A의 약자라고 생각하면 쉬워요!)
예시:
- A = {1, 2, 3, 4} 일 때, n(A) = 4 입니다.
- B = {a, b, c} 일 때, n(B) = 3 입니다.
- 공집합 C = ∅ 일 때, 원소가 하나도 없으므로 n(C) = n(∅) = 0 입니다.
- 집합 D = {∅} 일 때, 이 집합은 ∅라는 기호를 원소로 1개 가지고 있으므로 n(D) = 1 입니다. (주의!)
무한집합의 경우에는 원소의 개수를 셀 수 없으므로 n(A)와 같은 표현을 사용하지 않아요.
🧐 개념확인 문제: 집합의 종류와 원소 개수!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 집합들을 분류하고 원소의 개수를 구해봅시다!
세 집합 A = {x | x는 홀수인 자연수}, B = {x | x는 5의 양의 약수인 짝수}, C = {∅}에 대하여 다음을 모두 찾으시오. (PDF Check 1 문제)
- 무한집합
- 유한집합
- 공집합
- n(B)와 n(C)의 값
정답 및 해설:
먼저 각 집합을 원소나열법으로 나타내보면,
A = {1, 3, 5, 7, …}
B = {} = ∅ (5의 양의 약수는 1, 5인데 이 중에 짝수는 없음)
C = {∅} (∅라는 기호를 원소로 가짐)
- 무한집합: 원소가 무한히 많은 집합은 A 입니다.
- 유한집합: 원소의 개수가 유한한 집합은 B, C 입니다. (B는 0개, C는 1개)
- 공집합: 원소가 하나도 없는 집합은 B 입니다.
- n(B)와 n(C)의 값:
n(B) = n(∅) = 0
n(C) = n({∅}) = 1
집합의 정의와 기호를 정확히 이해하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 집합을 원소의 개수에 따라 유한집합, 무한집합, 그리고 특별한 공집합으로 분류하는 방법과 유한집합의 원소의 개수를 n(A)로 표현하는 방법에 대해 배웠습니다. 특히 공집합 ∅와 {∅}의 차이를 명확히 구분하는 것이 중요했죠? 이 기본적인 분류는 앞으로 집합의 연산이나 포함 관계를 다룰 때 계속 사용될 예정이니 잘 기억해두세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 한 집합이 다른 집합에 포함되는 관계인 ‘부분집합’에 대해 알아보겠습니다. 🎁