점 P(x,y)를 직선 l: ax+by+c=0에 대하여 대칭이동한 점을 P'(x’,y’)이라고 할 때, 점 P’의 좌표는 다음 두 가지 조건을 연립하여 구해요.

1. 중점 조건: 선분 PP’의 중점 M은 직선 l 위의 점이다.
   ⇒ a
2. 수직 조건: 직선 PP’과 직선 l은 서로 수직이다. (단, ab \ne 0일 때)
   ⇒ (직선 PP’의 기울기) \times (직선 l의 기울기) = -1
   ⇒
   (만약 a=0 (직선 l이 x축에 평행)이면 직선 PP’은 y축에 평행 (x’=x). b=0 (직선 l이 y축에 평행)이면 직선 PP’은 x축에 평행 (y’=y).)

도형 f(x,y)=0을 직선 l에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은, 위와 같은 방법으로 x,y를 x’,y’에 대한 식으로 나타낸 후 f(x,y)=0에 대입하여 구합니다.

개념정리 140-1: 대칭축이 수직이등분선!

평면 위의 한 점 P를 어떤 직선 l에 대하여 선대칭이동한다는 것은, 직선 l을 기준으로 점 P를 마치 거울에 비춘 것처럼 반대편으로 옮기는 것을 의미해요.

이때, 원래 점 P와 대칭이동된 점 P’ 사이에는 다음과 같은 두 가지 중요한 기하학적 관계가 성립합니다.

1. 중점 조건: 선분 PP’의 중점 M은 반드시 대칭축인 직선 l 위에 있어야 합니다.
2. 수직 조건: 선분 PP’을 포함하는 직선 PP’은 대칭축인 직선 l과 서로 수직으로 만나야 합니다.

결국, 직선 l은 선분 PP’의 수직이등분선이 되는 것이죠! 이 두 가지 조건을 식으로 표현하여 연립하면 대칭이동된 점의 좌표를 구할 수 있습니다.

개념정리 140-2: 연립방정식으로 (x’,y’) 구하기!

점 P(x,y)를 직선 l: ax+by+c=0에 대하여 대칭이동한 점을 P'(x’,y’)이라고 할 때, x’과 y’을 x,y,a,b,c로 나타내는 구체적인 과정은 다음과 같습니다.

1. 중점 조건 활용

선분 PP’의 중점 M이 직선 ax+by+c=0 위에 있으므로, 이 좌표를 직선의 방정식에 대입하면 성립합니다.

a       ··· ①

2. 수직 조건 활용

(i) b \ne 0 (즉, 직선 l이 y축에 평행하지 않을 때)이고 x \ne x’ (즉, 직선 PP’이 x축에 평행하지 않을 때):
직선 PP’의 기울기는 이고, 직선 l의 기울기는 –^a⁄_b입니다.
두 직선이 수직이므로 기울기의 곱이 -1입니다:       ··· ②

(ii) b = 0 (즉, 직선 l이 x=-c/a로 y축에 평행할 때):
직선 PP’은 x축에 평행해야 하므로 y’ = y가 됩니다.       ··· ②’

(iii) a = 0 (즉, 직선 l이 y=-c/b로 x축에 평행할 때):
직선 PP’은 y축에 평행해야 하므로 x’ = x가 됩니다.       ··· ②”

(iv) x = x’ (즉, 직선 PP’이 y축에 평행할 때):
직선 l은 x축에 평행해야 하므로 a=0이 됩니다. (위 (iii)의 경우)

(v) y = y’ (즉, 직선 PP’이 x축에 평행할 때):
직선 l은 y축에 평행해야 하므로 b=0이 됩니다. (위 (ii)의 경우)

일반적으로는 식 ①과 식 ② (또는 해당되는 ②’, ②”)를 연립하여 x’과 y’에 대한 관계식을 얻습니다. 도형 f(x,y)=0을 대칭이동할 때는, 이 관계식에서 x,y를 x’,y’으로 표현한 후 원래 식에 대입합니다.

개념정리 140-3: 좌표와 부호가 모두 바뀐다!

PDF 에서는 직선 y=-x에 대한 대칭이동을 예시로 중점 조건과 수직 조건을 이용하여 공식을 유도하고 있어요.

점 P(x,y)를 직선 y=-x (즉, x+y=0)에 대하여 대칭이동한 점을 P'(x’,y’)이라고 하면,

1. 중점 조건: 선분 PP’의 중점 이 직선 y=-x 위에 있으므로,
   \frac{y+y’}{2} = -\frac{x+x’}{2} ⇒ y+y’ = -x-x’ ⇒ x’+y’ = -(x+y) ··· (ㄱ)
2. 수직 조건: 직선 PP’의 기울기는 \frac{y’-y}{x’-x}이고, 직선 y=-x의 기울기는 -1입니다. 두 직선이 수직이므로 기울기의 곱이 -1이거나, 직선 PP’의 기울기가 1이어야 합니다 (단, x \ne x’).
   \frac{y’-y}{x’-x} = 1 (만약 x=x’이면 직선 PP’은 y축에 평행하고, 이 경우 직선 y=-x와 수직이 될 수 없으므로 x \ne x’이라고 가정할 수 있습니다. y \ne y’도 마찬가지.)
   ⇒ y’-y = x’-x ⇒ x’-y’ = x-y ··· (ㄴ)

(ㄱ)과 (ㄴ)을 연립하여 x’, y’에 대해 풀면 x’=-y, y’=-x를 얻습니다.

따라서,

• 점 P(x,y)를 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 점 P’의 좌표는 (-y, -x)입니다.
• 도형 f(x,y)=0을 직선 y=-x에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(-y, -x)=0입니다.

(기울기가 1 또는 -1인 다른 직선 y=x+a 또는 y=-x+a에 대한 대칭이동 공식도 유사한 방법으로 유도할 수 있으나, 암기보다는 중점 조건과 수직 조건을 이용하는 것이 더 일반적입니다. )