방정식 f(x, y) = 0이 나타내는 도형을 다음의 축, 점, 직선에 대하여 각각 대칭이동한 도형의 방정식은 다음과 같아요.

• 1. x축에 대한 대칭이동: f(x,y)=0 \rightarrow f(x, -y)=0
  → 원래 방정식의 y 대신 -y를 대입!
• 2. y축에 대한 대칭이동: f(x,y)=0 \rightarrow f(-x, y)=0
  → 원래 방정식의 x 대신 -x를 대입!
• 3. 원점에 대한 대칭이동: f(x,y)=0 \rightarrow f(-x, -y)=0
  → 원래 방정식의 x 대신 -x, y 대신 -y를 대입!
• 4. 직선 y=x에 대한 대칭이동: f(x,y)=0 \rightarrow f(y, x)=0
  → 원래 방정식의 x 대신 y, y 대신 x를 대입!

점의 대칭이동에서 좌표가 변하는 규칙과 도형의 방정식에서 문자를 바꾸는 규칙이 정확히 일치한다는 점을 기억하면 쉬워요!

개념정리 138-1: 문자의 변화 형태가 동일!

지난 시간에 배운 점의 대칭이동 규칙과 오늘 배울 도형의 방정식의 대칭이동 규칙은 매우 밀접하게 관련되어 있어요. 사실, 문자의 변화 형태가 똑같답니다!

예를 들어, 점 P(x,y)를 x축에 대하여 대칭이동하면 P'(x,-y)가 되었죠? (y좌표의 부호만 반대)

마찬가지로, 도형 f(x,y)=0을 x축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 원래 방정식의 y 자리에 -y를 대입한 f(x,-y)=0이 됩니다.

이처럼 점의 좌표가 변하는 방식과 도형의 방정식에서 해당 문자를 바꿔주는 방식이 일치하기 때문에, 둘 중 하나만 정확히 기억하고 있으면 다른 하나도 쉽게 유추할 수 있어요.

개념정리 138-2: 자취의 방정식 원리 활용!

도형 f(x,y)=0을 대칭이동한 도형의 방정식을 구하는 원리는 자취의 방정식을 구하는 원리와 같아요.

예를 들어, 도형 f(x,y)=0 위의 임의의 점 P(x,y)를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 P'(x’, y’)이라고 해봅시다.

점의 x축 대칭이동 규칙에 따라 다음 관계가 성립해요:

x’ = x

y’ = -y

우리가 구하려는 것은 대칭이동된 도형 위의 점 P'(x’, y’)이 만족하는 방정식, 즉 x’과 y’ 사이의 관계식입니다.
위의 관계식에서 원래 좌표 x, y에 대해 정리하면:

x = x’

y = -y’

점 P(x,y)는 원래 도형 f(x,y)=0 위의 점이므로, 이 방정식에 x = x’과 y = -y’을 대입하면 성립해야 해요.

f(x’, -y’) = 0

이것이 바로 대칭이동된 도형 위의 점 P'(x’,y’)이 만족하는 방정식입니다! 이제 x’, y’을 일반적인 좌표 변수 x, y로 바꾸어 써주면, x축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 f(x, -y) = 0이 됩니다.

다른 대칭이동(y축, 원점, 직선 y=x)에 대해서도 같은 원리로 공식을 유도할 수 있어요.