두 원 O, O’의 반지름의 길이를 각각 r, r’ (r > r’이라고 가정)이라 하고, 두 원의 중심 사이의 거리를 d라고 할 때, 공통접선의 길이는 다음과 같아요.

• 1. 공통외접선의 길이 (l_e):
  l_e = √(d² – (r – r’)²)
  여기에 공통외접선 길이 유도 그림 (작은 원 중심에서 큰 원 반지름에 수선)
• 2. 공통내접선의 길이 (l_i):
  l_i = √(d² – (r + r’)²)
  여기에 공통내접선 길이 유도 그림 (작은 원 중심에서 큰 원 반지름 연장선에 수선)

이 공식들은 모두 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용하여 유도된답니다!

개념정리 134-1: 접점에서 접점까지!

두 원에 동시에 접하는 직선인 공통접선이 있을 때, 이 공통접선이 각 원과 만나는 점을 접점이라고 하죠? 이때, 두 원의 각 접점 사이의 선분의 길이를 바로 공통접선의 길이라고 정의합니다.

예를 들어, 공통외접선이 두 원과 각각 점 A, 점 B에서 만난다면, 선분 AB의 길이가 공통외접선의 길이가 되는 것이죠.

개념정리 134-2: 평행이동과 직각삼각형!

두 원 O, O’의 반지름을 각각 r, r’ (r > r’)이라 하고, 중심거리를 d라고 할 때, 공통외접선의 길이를 구해봅시다.

위 그림처럼 공통외접선이 두 원과 만나는 접점을 각각 A, B라고 합시다. 우리가 구하려는 길이는 선분 AB의 길이에요.

여기서 작은 원의 중심 O’에서 큰 원의 반지름 OA에 수선의 발 P를 내리면, 사각형 PBO’A에서 AB // PO’이고 AP // BO’ (모두 접선에 수직이므로) 가 되어 사각형 PBO’A는 직사각형이 됩니다. (정확히는 O’에서 OA에 평행하게 선을 긋고, 그 선과 AB의 연장선의 교점을 생각하거나, O’P와 AB가 평행하고 길이가 같음을 이용)

더 쉬운 방법은, 점 O’에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 P라고 하면, 사각형 ABO’P는 직사각형이 되므로 AB = PO’입니다.

직각삼각형 OO’P에서,

• 빗변: OO’ = d (중심거리)
• 한 변: OP = OA – PA = OA – O’B = r – r’ (두 반지름의 차)

피타고라스 정리에 의해 OO’² = OP² + PO’² 이므로,

PO’² = OO’² – OP² = d² – (r-r’)²

따라서 공통외접선의 길이 AB = PO’ = √(d² – (r-r’)²) 입니다.

개념정리 134-3: 반지름 연장선과 직각삼각형!

두 원 O, O’의 반지름을 각각 r, r’이라 하고, 중심거리를 d라고 할 때, 공통내접선의 길이를 구해봅시다.

위 그림처럼 공통내접선이 두 원과 만나는 접점을 각각 C, D라고 합시다. 우리가 구하려는 길이는 선분 CD의 길이에요.

여기서 작은 원의 중심 O’에서 큰 원의 반지름 OC의 연장선에 수선의 발 Q를 내리면, 사각형 CDO’Q는 직사각형이 되므로 CD = QO’입니다.

직각삼각형 OO’Q에서,

• 빗변: OO’ = d (중심거리)
• 한 변: OQ = OC + CQ = OC + O’D = r + r’ (두 반지름의 합)

피타고라스 정리에 의해 OO’² = OQ² + QO’² 이므로,

QO’² = OO’² – OQ² = d² – (r+r’)²

따라서 공통내접선의 길이 CD = QO’ = √(d² – (r+r’)²) 입니다.