두 원의 반지름의 길이를 각각 R, r (R \ge r)이라고 하고, 두 원의 중심 사이의 거리를 d라고 할 때, 두 원의 위치 관계는 다음과 같이 결정돼요.

위치 관계	조건 (d와 R, r의 관계)	교점의 개수
서로 다른 원의 외부에 있다 (만나지 않음)	d > R + r	0개
외접한다 (한 점에서 만남)	d = R + r	1개
서로 다른 두 점에서 만난다	R – r < d < R + r	2개
내접한다 (한 점에서 만남)	d = R – r (단, d \ne 0)	1개
한 원이 다른 원의 내부에 있다 (만나지 않음)	0 \le d < R - r	0개

(만약 d=0이면 두 원은 동심원이며, R=r이면 일치하고, R \ne r이면 만나지 않아요.)

개념정리 126-1: 만남의 다양한 형태들

좌표평면 위에서 두 원은 다음과 같은 다섯 가지 주요 위치 관계 중 하나를 가질 수 있어요.

1. 서로 다른 원의 외부에 있다: 두 원이 서로 떨어져서 만나지 않는 경우.
2. 외접한다: 두 원이 바깥쪽에서 한 점에서 만나는 경우.
3. 서로 다른 두 점에서 만난다: 두 원이 서로 겹쳐지면서 두 개의 교점을 갖는 경우.
4. 내접한다: 한 원이 다른 원의 안쪽에서 한 점에서 만나는 경우.
5. 한 원이 다른 원의 내부에 있다: 작은 원이 큰 원 안에 완전히 포함되어 만나지 않는 경우. (만약 중심까지 같다면 동심원이라고 해요.)

이러한 위치 관계는 두 원의 중심 사이의 거리(d)와 두 원의 반지름의 길이(R과 r) 사이의 관계를 통해 명확하게 구분할 수 있답니다.

개념정리 126-2: d와 R+r, |R-r| 비교하기!

두 원의 반지름을 각각 R, r (편의상 R \ge r로 가정)이라 하고, 두 원의 중심 사이의 거리를 d라고 할 때, 다음과 같은 기준으로 위치 관계를 판단해요.

1. 만나지 않는 경우 (외부 또는 내부)

• 서로 다른 원의 외부에 있을 때 (교점 0개): d > R + r
  중심 사이의 거리가 두 반지름의 합보다 크면 두 원은 서로 떨어져 있어요.
  두 원이 외부에 있는 그림 (d > R+r)
• 한 원이 다른 원의 내부에 있을 때 (교점 0개): 0 \le d < R - r
  중심 사이의 거리가 두 반지름의 차보다 작으면 작은 원이 큰 원 안에 포함돼요. (d=0이면 동심원)
  한 원이 다른 원 내부에 있는 그림 (0 ≤ d < R-r)

2. 한 점에서 만나는 경우 (외접 또는 내접)

• 외접할 때 (교점 1개): d = R + r
  중심 사이의 거리가 두 반지름의 합과 정확히 같으면 두 원은 바깥쪽에서 한 점에서 접해요.
  두 원이 외접하는 그림 (d = R+r)
• 내접할 때 (교점 1개): d = R – r (단, d \ne 0 즉, R \ne r일 때)
  중심 사이의 거리가 두 반지름의 차와 정확히 같으면 (두 원의 중심이 다를 때) 한 원이 다른 원 안에서 한 점에서 접해요.
  두 원이 내접하는 그림 (d = R-r)

3. 서로 다른 두 점에서 만나는 경우 (교점 2개)

R – r < d < R + r

중심 사이의 거리가 두 반지름의 차보다는 크고, 두 반지름의 합보다는 작으면 두 원은 서로 다른 두 점에서 만나게 됩니다. (삼각형의 결정 조건과 유사하게 생각할 수 있어요! 세 변의 길이가 d, R, r인 삼각형이 만들어지는 조건)