125 원과 직선의 위치 관계 (2): 중심과 직선 사이 거리 vs 반지름! 📏
안녕하세요, 도형의 관계를 측정하는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 원과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식 D를 이용하여 두 도형의 위치 관계를 파악하는 방법을 배웠어요. 오늘은 그 두 번째 방법으로, 원의 중심에서 직선까지의 거리(d)와 원의 반지름의 길이(r)를 비교하여 원과 직선의 위치 관계를 판단하는 방법을 알아볼 거예요. 이 방법은 계산이 더 간편한 경우가 많고, 기하학적으로도 직관적인 이해를 도와준답니다! 마치 자로 재보듯 명확하게 관계를 파악해 볼까요? 📐
📝 핵심만정리: 원과 직선의 위치 관계, d와 r로 판단!
원의 중심에서 직선 사이의 거리를 d라 하고, 원의 반지름의 길이를 r이라고 할 때, 원과 직선의 위치 관계는 다음과 같이 결정돼요.
| d와 r의 대소 관계 | 원과 직선의 위치 관계 (교점 개수) |
|---|---|
| d < r (중심과 직선 사이 거리가 반지름보다 작다) | 서로 다른 두 점에서 만난다. (교점 2개) |
| d = r (중심과 직선 사이 거리가 반지름과 같다) | 한 점에서 만난다 (접한다). (교점 1개) |
| d > r (중심과 직선 사이 거리가 반지름보다 크다) | 만나지 않는다. (교점 0개) |
이 방법을 사용하려면 점과 직선 사이의 거리 공식 d = |ax1 + by1 + c|⁄√(a2 + b2)을 정확히 알고 있어야 해요!
🤔 거리(d)와 반지름(r) 비교, 왜 중요할까요?
개념정리 125-1: 기하학적 직관!
원과 직선의 위치 관계를 파악하는 두 번째 방법은 원의 중심 C에서 직선 l까지의 거리 d와 원의 반지름의 길이 r을 비교하는 것입니다.
한번 상상해 보세요!
- 만약 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 짧다면(d < r), 직선은 원을 두 점에서 가로지르며 지나가겠죠?
- 만약 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 똑같다면(d = r), 직선은 원에 정확히 한 점에서 스치듯 지나갈 거예요 (접하는 상황).
- 만약 원의 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 길다면(d > r), 직선은 원에 닿지 못하고 바깥으로 지나가겠죠?
이처럼 d와 r의 대소 관계는 원과 직선의 위치 관계를 매우 직관적으로 보여줍니다.
🚦 d와 r의 대소 관계와 위치 관계: 세 가지 시나리오!
개념정리 125-2: d와 r이 알려주는 교점의 개수!
원의 중심을 C(x1, y1), 반지름의 길이를 r이라 하고, 직선의 방정식을 ax+by+c=0이라고 할 때, 중심 C에서 직선까지의 거리는 d = |ax1 + by1 + c|⁄√(a2 + b2)입니다.
1. d < r 일 때: 서로 다른 두 점에서 만난다!
원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 작으면, 직선은 원의 내부를 지나가게 되어 서로 다른 두 개의 교점을 갖습니다.
2. d = r 일 때: 한 점에서 만난다 (접한다)!
원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 정확히 같으면, 직선은 원의 둘레에 정확히 한 점에서 접촉하게 됩니다. 이 상태를 “접한다”고 하고, 그 교점을 “접점”이라고 합니다.
3. d > r 일 때: 만나지 않는다!
원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 크면, 직선은 원의 바깥쪽에 위치하여 원과 교점을 갖지 않습니다.
판별식 vs 중심과의 거리, 어떤 방법이 더 좋을까요? 🤔
두 방법 모두 원과 직선의 위치 관계를 정확히 알려줍니다. 하지만 일반적으로 원의 중심과 직선 사이의 거리를 이용하는 방법이 계산이 더 간편한 경우가 많아요. 판별식을 사용하려면 방정식을 연립하고 정리하는 과정에서 계산이 복잡해질 수 있기 때문이죠. 하지만 문제의 조건이나 형태에 따라 더 편리한 방법을 선택하면 됩니다!
🧐 개념확인 문제: 거리 d와 반지름 r로 위치 관계 파악!
이제 배운 내용을 바탕으로 원의 중심과 직선 사이의 거리 d와 반지름 r을 비교하여 위치 관계를 판단해 봅시다!
원 x2 + y2 = 4와 직선 x – y + k = 0의 위치 관계가 다음과 같도록 하는 실수 k의 값 또는 범위를 구하시오. (예시 문제)
- 서로 다른 두 점에서 만난다.
- 한 점에서 만난다 (접한다).
- 만나지 않는다.
정답 및 해설:
원의 중심은 O(0,0)이고, 반지름 r = √4 = 2입니다.
원의 중심 (0,0)에서 직선 x – y + k = 0까지의 거리 d를 구합니다.
(a=1, b=-1, c=k, x1=0, y1=0)
d = |1(0) + (-1)(0) + k|⁄√(12 + (-1)2) = |k|⁄√(1+1) = |k|⁄√2
이제 d와 r=2의 대소 관계를 비교합니다.
- 서로 다른 두 점에서 만날 조건: d < r
|k|⁄√2 < 2 ⇒ |k| < 2√2
따라서 -2√2 < k < 2√2 - 한 점에서 만날 (접할) 조건: d = r
|k|⁄√2 = 2 ⇒ |k| = 2√2
따라서 k = 2√2 또는 k = -2√2 - 만나지 않을 조건: d > r
|k|⁄√2 > 2 ⇒ |k| > 2√2
따라서 k < -2√2 또는 k > 2√2
점과 직선 사이의 거리 공식과 절댓값 부등식 풀이법을 잘 활용하면 어렵지 않게 해결할 수 있어요! 👍
오늘은 원의 중심에서 직선까지의 거리 d와 원의 반지름 r의 대소 관계를 이용하여 원과 직선의 위치 관계를 판별하는 또 다른 방법에 대해 배웠습니다. d