좌표축에 접하는 원의 방정식은 중심의 좌표와 반지름의 길이 사이의 관계를 이용하여 세울 수 있어요.

중심이 (a,b)인 원에 대하여:

• 1. x축에 접하는 원:
  → (반지름의 길이) = |중심의 y좌표| = |b|
  → 원의 방정식: (x-a)² + (y-b)² = b²
• 2. y축에 접하는 원:
  → (반지름의 길이) = |중심의 x좌표| = |a|
  → 원의 방정식: (x-a)² + (y-b)² = a²
• 3. x축, y축에 동시에 접하는 원:
  → (반지름의 길이) = |중심의 x좌표| = |중심의 y좌표| = |a| = |b|
  → 중심의 위치에 따라 (b=a 또는 b=-a), 반지름을 r이라 하면 중심은 (±r, ±r) 꼴.
  → 예: 중심이 제1사분면이면 (r,r)이고 방정식은 (x-r)² + (y-r)² = r².

개념정리 123-1: y좌표가 반지름을 결정!

원의 중심이 (a,b)이고 이 원이 x축에 접한다고 상상해 보세요. x축에 접한다는 것은 원과 x축이 한 점에서 만난다는 뜻이죠? 그 접점은 바로 중심에서 x축에 내린 수선의 발이 될 거예요.

이때, 원의 중심 (a,b)에서 x축까지의 거리는 얼마일까요? 바로 중심의 y좌표의 절댓값인 |b|가 됩니다! 그리고 이것이 바로 원의 반지름의 길이 r과 같아지게 됩니다.

x축에 접하는 원의 반지름 r = |b|

따라서 x축에 접하고 중심이 (a,b)인 원의 방정식은 표준형 (x-a)² + (y-b)² = r²에서 r² = (|b|)² = b²이므로,

(x-a)² + (y-b)² = b²

가 됩니다.

개념정리 123-2: x좌표가 반지름을 결정!

이번에는 원의 중심이 (a,b)이고 이 원이 y축에 접한다고 상상해 봅시다. y축에 접한다는 것은 원과 y축이 한 점에서 만난다는 뜻이겠죠?

이때, 원의 중심 (a,b)에서 y축까지의 거리는 바로 중심의 x좌표의 절댓값인 |a|가 됩니다! 그리고 이것이 바로 원의 반지름의 길이 r과 같아지게 됩니다.

y축에 접하는 원의 반지름 r = |a|

따라서 y축에 접하고 중심이 (a,b)인 원의 방정식은 표준형에서 r² = (|a|)² = a²이므로,

(x-a)² + (y-b)² = a²

가 됩니다.

개념정리 123-3: 중심과 반지름의 일치!

원의 중심이 (a,b)이고 이 원이 x축과 y축에 동시에 접한다면 어떤 특별한 관계가 생길까요?

x축에 접하므로 반지름 r = |b|이고, 동시에 y축에도 접하므로 반지름 r = |a|여야 해요.
따라서 |a| = |b| = r 이라는 매우 중요한 관계가 성립합니다!

이것은 원의 중심의 x좌표의 절댓값과 y좌표의 절댓값이 모두 반지름의 길이 r과 같다는 것을 의미해요. 그래서 중심의 좌표는 원이 어느 사분면에 있느냐에 따라 다음과 같이 r로 표현될 수 있습니다 (단, r > 0):

• 제1사분면에 중심: (r, r) ⇒ 방정식: (x-r)² + (y-r)² = r²
• 제2사분면에 중심: (-r, r) ⇒ 방정식: (x+r)² + (y-r)² = r² (PDF에서는 b=-a일 때 (x-a)^2+(y+a)^2=a^2 형태로 표현 )
• 제3사분면에 중심: (-r, -r)⇒ 방정식: (x+r)² + (y+r)² = r²
• 제4사분면에 중심: (r, -r)⇒ 방정식: (x-r)² + (y+r)² = r²

결국 미지수가 r 하나만 남게 되어 문제를 풀기가 훨씬 수월해진답니다!