121 원의 방정식 표준형: 중심과 반지름으로 원 그리기! ⭕
안녕하세요, 동그란 도형의 세계로 떠나는 친구들! 👋 직선의 방정식을 마스터했다면, 이제는 또 다른 기본적인 도형인 원을 방정식으로 어떻게 표현하는지 알아볼 차례예요. 원은 “한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임”이라는 아름다운 정의를 가지고 있죠. 오늘은 이 정의와 우리가 배운 ‘두 점 사이의 거리 공식’을 이용하여 원의 방정식을 나타내는 가장 기본적인 형태, 바로 원의 방정식의 표준형에 대해 배울 거예요. 이 표준형만 알면 원의 중심과 반지름을 한눈에 파악하고 그래프도 쉽게 그릴 수 있답니다! 함께 그 동그란 비밀을 파헤쳐 볼까요? 💫
📝 핵심만정리: 원의 방정식 표준형!
원의 중심의 좌표와 반지름의 길이가 주어졌을 때, 원의 방정식은 다음과 같은 표준형으로 나타낼 수 있어요.
- 중심이 점 (a,b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식:
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
- 중심이 원점 (0,0)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식:
x2 + y2 = r2
이 표준형은 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 바로 알 수 있게 해주는 매우 유용한 형태랍니다!
🤔 원이란 무엇일까요? (한 정점으로부터 같은 거리!)
개념정리 121-1: 원의 정의와 구성요소
평면 위에서 한 정점(고정된 점)으로부터 일정한 거리에 있는 모든 점들의 모임(자취)을 바로 원(Circle)이라고 해요.
- 이때, 그 한 정점을 원의 중심(Center)이라고 하고,
- 그 일정한 거리를 원의 반지름(Radius)의 길이라고 합니다. (보통 기호 r로 나타내며, r>0이어야 해요.)
이 정의가 바로 원의 방정식을 유도하는 출발점이 된답니다!
‘한 평면 위에서’라는 조건이 없다면? 🌍
만약 ‘한 평면 위에서’라는 조건 없이 “한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 모임”이라고 한다면, 그것은 3차원 공간에서 ‘구(Sphere)’가 될 수도 있어요! 하지만 우리는 좌표평면 위에서 다루므로 원이 됩니다.
🛠️ 표준형 공식 유도: (x-a)2 + (y-b)2 = r2
개념정리 121-2: 두 점 사이의 거리 공식 활용!
좌표평면 위에서 중심이 점 C(a,b)이고 반지름의 길이가 r (r>0)인 원의 방정식을 구해봅시다.
원의 정의에 따라, 이 원 위의 임의의 한 점을 P(x,y)라고 하면, 점 C와 점 P 사이의 거리는 항상 반지름의 길이 r과 같아야 해요. 즉, CP = r 입니다.
두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 CP의 길이를 나타내면:
CP = √((x-a)2 + (y-b)2)
따라서 √((x-a)2 + (y-b)2) = r 이라는 식이 성립합니다.
이 식의 양변을 제곱하면 근호가 사라지면서 우리가 원하는 원의 방정식의 표준형을 얻을 수 있어요!
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
거꾸로, 이 방정식을 만족시키는 점 P(x,y)는 중심 C(a,b)로부터의 거리가 r인 점이므로, 이 방정식은 중심이 (a,b)이고 반지름의 길이가 r인 원을 나타냅니다.
🏠 중심이 원점일 때: x2 + y2 = r2
개념정리 121-3: 가장 기본적인 원의 방정식!
만약 원의 중심이 특별히 원점 (0,0)이고 반지름의 길이가 r이라면, 표준형 공식 (x-a)2 + (y-b)2 = r2에 a=0, b=0을 대입하면 돼요.
(x-0)2 + (y-0)2 = r2
따라서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은 다음과 같이 아주 간단한 형태로 나타납니다.
x2 + y2 = r2
이것이 가장 기본적인 원의 방정식 형태랍니다!
🧐 개념확인 문제: 원의 방정식 세우기!
이제 배운 공식을 이용해서 주어진 조건에 맞는 원의 방정식을 세워봅시다!
다음 원의 방정식을 구하시오. (PDF Check 문제)
- 중심이 점 (2, -1)이고 반지름의 길이가 3인 원
- 중심이 원점이고 반지름의 길이가 √6인 원
정답 및 해설:
-
중심이 (a,b) = (2,-1)이고 반지름 r=3이므로, 표준형 (x-a)2 + (y-b)2 = r2에 대입합니다.
(x-2)2 + (y-(-1))2 = 32
(x-2)2 + (y+1)2 = 9
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중심이 원점 (0,0)이고 반지름 r=√6이므로, 표준형 x2 + y2 = r2에 대입합니다.
x2 + y2 = (√6)2
x2 + y2 = 6
원의 중심과 반지름만 알면 표준형 공식을 통해 원의 방정식을 쉽게 나타낼 수 있죠? 😉
오늘은 원의 정의로부터 원의 방정식을 나타내는 가장 기본적인 형태인 표준형 (x-a)2 + (y-b)2 = r2을 유도하고 활용하는 방법에 대해 배웠습니다. 이 표준형은 원의 중심 (a,b)와 반지름 r을 한눈에 보여주기 때문에 매우 중요하죠! 특히 중심이 원점일 때는 x2 + y2 = r2으로 더욱 간단해졌어요. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 원의 방정식의 또 다른 형태인 ‘일반형’에 대해 알아보겠습니다. 🌍