좌표평면 위의 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하는 공식은 다음과 같아요.

• 한 꼭짓점이 원점 O(0,0)이고, 다른 두 꼭짓점이 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)일 때:
  삼각형 OAB의 넓이 S는
  S = ¹⁄₂ |x₁y₂ – x₂y₁|
  (이것이 바로 신발끈 공식의 기본 형태예요! 바깥쪽 곱에서 안쪽 곱을 뺀 값의 절댓값에 ¹⁄₂을 곱한다고 기억하면 좋아요.)
• 일반적인 세 점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)일 때:
  한 꼭짓점을 원점으로 평행이동시킨 후 위 공식을 적용할 수 있어요.
  예를 들어, 점 A를 원점으로 이동시키면, A’ (0,0), B'(x₂-x₁, y₂-y₁), C'(x₃-x₁, y₃-y₁)이 되므로,
  삼각형 ABC의 넓이 S = ¹⁄₂ |(x₂-x₁)(y₃-y₁) – (x₃-x₁)(y₂-y₁)|
  (또는 더 일반화된 신발끈 공식을 사용할 수도 있어요. 아래에서 자세히!)

개념정리 120-1: 밑변과 높이를 이용한 유도

한 꼭짓점이 원점 O(0,0)이고, 다른 두 꼭짓점이 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)인 삼각형 OAB의 넓이를 구해봅시다.

삼각형의 넓이 = ¹⁄₂ × 밑변 × 높이 공식을 이용할 거예요.

1. 밑변의 길이: 선분 AB의 길이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있어요.
   AB = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)
2. 높이: 원점 O에서 직선 AB까지의 거리가 바로 높이(OH)가 됩니다.
   직선 AB의 방정식은 (y₂-y₁)x – (x₂-x₁)y – (x₁y₂-x₂y₁) = 0 (또는 (y₂-y₁)x – (x₂-x₁)y + (x₂y₁-x₁y₂) = 0) 꼴로 나타낼 수 있어요.
   원점 (0,0)에서 이 직선까지의 거리 공식 d = ^|c’|⁄_{√(a’²+b’²)}을 이용하면 (여기서 a’=y₂-y₁, b’=-(x₂-x₁), c’=-(x₁y₂-x₂y₁)),
   OH = ^{|-(x₁y₂ – x₂y₁)|}⁄_{√((y2-y1)² + (-(x2-x1))²)} = ^{|x₁y₂ – x₂y₁|}⁄_{√((x2-x1)² + (y2-y1)²)}
3. 넓이 계산:
   S = ¹⁄₂ × AB × OH
   = ¹⁄₂ × √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) × ^{|x₁y₂ – x₂y₁|}⁄_{√((x2-x1)² + (y2-y1)²)}
   분모의 루트 부분이 약분되므로,
   S = ¹⁄₂ |x₁y₂ – x₂y₁| 가 됩니다!

개념정리 120-2: 좌표를 나열하고 엇갈려 곱하라!

세 꼭짓점 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)가 주어졌을 때 삼각형 ABC의 넓이를 구하는 일반적인 신발끈 공식(Shoelace Formula) 또는 사선 공식은 다음과 같아요.

1. 세 점의 좌표를 세로로 순서대로 쓰고, 마지막에 처음 썼던 좌표를 한 번 더 써줍니다.

x1   y1
x2   y2
x3   y3
x1   y1  (처음 좌표 반복)
                

2. 오른쪽 아래 대각선 방향으로 곱한 값들의 합(파란색 화살표)을 구하고, 왼쪽 아래 대각선 방향으로 곱한 값들의 합(빨간색 화살표)을 구합니다.

  x1     y1
   ↘ ↖
  x2     y2
   ↘ ↖
  x3     y3
   ↘ ↖
  x1     y1
                

파란색 합 = x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁

빨간색 합 = y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁

3. 삼각형의 넓이 S는 다음과 같습니다.

즉, S = ¹⁄₂ |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁) – (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₁)|