118 점과 직선 사이의 거리: 공식 하나로 깔끔하게! 📏
안녕하세요, 도형의 거리를 측정하는 탐험가 친구들! 👋 우리는 이미 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 배웠어요. 오늘은 한 단계 더 나아가, 좌표평면 위의 한 점과 그 점을 지나지 않는 한 직선 사이의 거리를 어떻게 구할 수 있는지 알아볼 거예요. 이 거리는 점에서 직선에 내린 수선의 발까지의 길이를 의미하는데, 다행히도 아주 편리한 공식이 있답니다! 이 공식을 이용하면 복잡한 계산 없이도 점과 직선 사이의 최단 거리를 깔끔하게 구할 수 있어요. 함께 그 공식을 마스터해 볼까요? 📐
📝 핵심만정리: 점과 직선 사이 거리 공식!
좌표평면 위의 점 P(x1, y1)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d는 다음과 같아요.
특히, 원점 (0,0)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d는 위 공식에 x1=0, y1=0을 대입하여 다음과 같이 간단하게 구할 수 있어요.
이 공식을 사용하려면 직선의 방정식이 반드시 일반형 (ax+by+c=0)으로 표현되어 있어야 한다는 점을 기억하세요!
🤔 점과 직선 사이의 거리란 무엇일까요?
개념정리 118-1: 가장 짧은 거리, 수직 거리!
평면 위의 한 점 P에서 그 점을 지나지 않는 직선 l까지의 거리는 어떻게 정의될까요? 점 P에서 직선 l 위의 무수히 많은 점들까지의 거리를 생각해 볼 수 있지만, 우리가 일반적으로 “점과 직선 사이의 거리”라고 말할 때는 그중에서 가장 짧은 거리를 의미해요.
그리고 이 가장 짧은 거리는 바로 점 P에서 직선 l에 수선을 내렸을 때, 그 수선의 발 H까지의 선분 PH의 길이가 된답니다. 즉, 점과 직선 사이의 거리는 수직 거리를 뜻하는 것이죠.
📏 거리 구하는 공식: |ax1 + by1 + c|⁄√(a2 + b2)
개념정리 118-2: 공식 유도와 활용법!
점 P(x1, y1)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
d = |ax1 + by1 + c|⁄√(a2 + b2)
이 공식은 점 P에서 직선에 내린 수선의 발 H(x2, y2)를 설정하고, 직선 PH가 원래 직선과 수직이라는 조건(mPH \cdot ml = -1 또는 기울기 관계), 그리고 점 H가 직선 l 위의 점이라는 조건을 이용하여 x2-x1과 y2-y1을 a, b, c, x1, y1으로 표현한 후, 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 유도할 수 있습니다. (자세한 유도 과정은 PDF 을 참고하세요!)
공식을 사용할 때는 다음 사항에 주의하세요:
- 직선의 방정식은 반드시 일반형 (ax+by+c=0)으로 정리해야 합니다. 만약 y=mx+n 꼴로 주어졌다면 mx-y+n=0으로 바꿔야 해요.
- 분자는 절댓값 기호 안에 점의 좌표를 직선의 방정식의 좌변에 대입한 형태입니다.
- 분모는 x의 계수 a의 제곱과 y의 계수 b의 제곱의 합에 루트를 씌운 값입니다.
예시: 점 (-1, 3)과 직선 y = –1⁄2x – 5⁄2 사이의 거리를 구해봅시다. (PDF Check 문제 (2))
1. 직선의 방정식을 일반형으로 바꿉니다:
y = –1⁄2x – 5⁄2
양변에 2를 곱하면: 2y = -x – 5
모든 항을 좌변으로 이항하면: x + 2y + 5 = 0.
따라서 a=1, b=2, c=5 입니다.
2. 점의 좌표 (x1, y1) = (-1, 3)을 공식에 대입합니다:
d = |1 \cdot (-1) + 2 \cdot 3 + 5|⁄√(12 + 22)
= |-1 + 6 + 5|⁄√(1 + 4) = |10|⁄√5 = 10⁄√5
3. 분모를 유리화합니다:
= (10√5)⁄(√5 \cdot √5) = (10√5)⁄5
= 2√5
🧐 개념확인 문제: 공식으로 거리 구하기!
이제 배운 공식을 이용해서 점과 직선 사이의 거리를 직접 구해봅시다!
다음 점과 직선 사이의 거리를 구하시오. (PDF Check 문제 (1) 활용)
점 (0, 0)과 직선 4x – 3y + 10 = 0 (상수항 변경)
정답 및 해설:
점 (x1, y1) = (0, 0)이고, 직선 4x – 3y + 10 = 0에서 a=4, b=-3, c=10 입니다.
공식 d = |ax1 + by1 + c|⁄√(a2 + b2)에 대입합니다.
(또는 원점과의 거리 공식 d = |c|⁄√(a2 + b2)를 바로 사용해도 됩니다.)
d = |4(0) + (-3)(0) + 10|⁄√(42 + (-3)2)
= |0 + 0 + 10|⁄√(16 + 9) = |10|⁄√25 = 10⁄5
= 2
직선의 방정식을 일반형으로 바꾸고 공식에 정확히 대입하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리를 구하는 강력한 공식 d = |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²)에 대해 배웠습니다. 이 공식은 직선의 방정식이 일반형 ax+by+c=0으로 주어졌을 때 사용할 수 있으며, 점과 직선 사이의 가장 짧은 거리, 즉 수직 거리를 알려준다는 것을 알게 되었죠? 이 거리 공식은 앞으로 평행한 두 직선 사이의 거리를 구하거나, 원과 직선의 위치 관계를 파악하는 등 다양한 도형 문제 해결에 활용될 예정이니 꼭 기억해주세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 🚀