115 두 직선의 위치 관계 (일반형): 계수의 비로 판별하기! 📊
안녕하세요, 직선들의 관계를 파헤치는 탐정 친구들! 👋 지난 시간에는 두 직선의 방정식이 표준형(y=mx+n)으로 주어졌을 때, 기울기와 y절편을 비교하여 위치 관계를 판별하는 방법을 배웠어요. 오늘은 직선의 방정식이 일반형(ax+by+c=0)으로 주어졌을 때, 두 직선의 위치 관계(평행, 일치, 한 점에서 만남, 그리고 수직까지!)를 계수들의 비를 이용하여 판별하는 방법에 대해 알아볼 거예요. 일반형은 모든 직선을 표현할 수 있는 강력한 형태인 만큼, 이 판별법도 잘 익혀두면 매우 유용하답니다! 함께 그 비밀을 풀어볼까요? 🔍
📝 핵심만정리: 일반형 두 직선의 위치 관계 판별법!
두 직선의 방정식이 일반형 ax + by + c = 0 과 a’x + b’y + c’ = 0으로 주어졌을 때 (단, a,b,c,a’,b’,c’는 실수), 두 직선의 위치 관계는 계수들의 비를 비교하여 다음과 같이 판단해요.
| 두 직선의 위치 관계 | 조건 (계수의 비) | 연립방정식의 해의 개수 |
|---|---|---|
| ① 평행하다 | a⁄a’ = b⁄b’ ≠ c⁄c’ | 없다 (불능) |
| ② 일치한다 | a⁄a’ = b⁄b’ = c⁄c’ | 무수히 많다 (부정) |
| ③ 한 점에서 만난다 | a⁄a’ ≠ b⁄b’ | 한 쌍 |
| ④ 수직이다 | aa’ + bb’ = 0 | 한 쌍 |
(위 조건에서 분모가 0이 되는 경우는 해당 비를 만들 수 없으므로, 다른 방법으로 비교하거나 표준형으로 변환 후 생각해야 합니다. 하지만 일반적으로 이 비율 관계는 계수들이 0이 아닐 때 유용하게 사용됩니다.)
🤔 표준형과 일반형, 다시 한번 정리!
개념정리 115-1: 두 가지 표현 방식
직선의 방정식을 나타내는 두 가지 주요 형태를 복습해 볼까요?
- 표준형: y = mx + n
→ 기울기 m과 y절편 n을 바로 알 수 있어 그래프를 그리거나 특징을 파악하기 편리해요.
→ 단, y축에 평행한 직선(x=k 꼴)은 표현할 수 없다는 한계가 있어요. - 일반형: ax + by + c = 0 (단, a, b는 동시에 0이 아님)
→ 좌표평면 위의 모든 직선을 표현할 수 있어요. (y축에 평행한 직선도 b=0일 때 표현 가능)
일반형으로 주어진 두 직선의 위치 관계는, 각 직선을 표준형으로 바꾸어 기울기와 y절편을 비교할 수도 있지만, 계수의 비를 이용하면 더 간편하게 판별할 수 있는 경우가 많답니다.
🚦 일반형에서의 판별 조건: 계수의 비율을 보라!
개념정리 115-2: a,b,c와 a’,b’,c’의 관계!
두 직선 l: ax + by + c = 0 과 l’: a’x + b’y + c’ = 0의 위치 관계를 계수의 비를 이용하여 판별하는 방법은 다음과 같아요. (단, 각 계수가 0이 아니라고 가정할 때, 만약 0인 계수가 있다면 표준형으로 바꿔서 생각하거나 각 경우를 따져봐야 합니다.)
이 조건들은 두 직선을 표준형 y = –a⁄bx – c⁄b 와 y = –a’⁄b’x – c’⁄b’ (단, b \ne 0, b’ \ne 0)로 바꾼 후, 표준형에서의 위치 관계 조건(기울기 비교, y절편 비교)을 적용하여 유도할 수 있습니다.
1. 평행할 조건: a⁄a’ = b⁄b’ ≠ c⁄c’
두 직선이 평행하려면 기울기는 같고 y절편은 달라야 해요.
기울기가 같다: –a⁄b = –a’⁄b’ ⇒ a⁄b = a’⁄b’ ⇒ ab’ = a’b ⇒ a⁄a’ = b⁄b’ (a’, b’ \ne 0 가정)
y절편이 다르다: –c⁄b ≠ –c’⁄b’ ⇒ c⁄b ≠ c’⁄b’ ⇒ cb’ ≠ c’b ⇒ b⁄b’ ≠ c⁄c’ (b’, c’ \ne 0 가정)
이 두 조건을 합치면 위와 같은 비율 관계가 나옵니다.
2. 일치할 조건: a⁄a’ = b⁄b’ = c⁄c’
두 직선이 일치하려면 기울기도 같고 y절편도 같아야 해요.
기울기가 같다: a⁄a’ = b⁄b’
y절편이 같다: –c⁄b = –c’⁄b’ ⇒ b⁄b’ = c⁄c’
세 비율이 모두 같아야 합니다.
3. 한 점에서 만날 조건: a⁄a’ ≠ b⁄b’
두 직선이 한 점에서 만나려면 기울기가 달라야 해요.
기울기가 다르다: –a⁄b ≠ –a’⁄b’ ⇒ a⁄b ≠ a’⁄b’ ⇒ ab’ ≠ a’b ⇒ a⁄a’ ≠ b⁄b’
4. 수직일 조건: aa’ + bb’ = 0
두 직선이 수직이려면 기울기의 곱이 -1이어야 했죠 (m \cdot m’ = -1).
(-a⁄b) \cdot (-a’⁄b’) = -1
aa’⁄bb’ = -1 ⇒ aa’ = -bb’ ⇒ aa’ + bb’ = 0
(이 조건은 b=0 또는 b’=0인 경우, 즉 직선이 y축에 평행한 경우에도 성립합니다. 예를 들어 ax+c=0 (b=0)과 b’y+c’=0 (a’=0)은 항상 수직인데, a \cdot 0 + 0 \cdot b’ = 0으로 성립합니다.)
🧐 개념확인 문제: 일반형 위치 관계 판별!
이제 배운 내용을 바탕으로 일반형으로 주어진 두 직선의 위치 관계를 판별해 봅시다!
두 직선 (2a+1)x + 2y + 4a = 0 과 x + 2ay + 1 = 0에 대하여 다음 위치 관계를 만족시키는 실수 a의 값을 구하시오. (PDF Check 문제)
- 평행하다.
- 일치한다.
- 수직이다.
정답 및 해설:
첫 번째 직선의 계수: A = 2a+1, B = 2, C = 4a
두 번째 직선의 계수: A’ = 1, B’ = 2a, C’ = 1
- 평행할 조건: A⁄A’ = B⁄B’ ≠ C⁄C’
(2a+1)⁄1 = 2⁄2a ≠ 4a⁄1 (단, a \neq 0)
첫 번째 등식: 2a+1 = 1⁄a ⇒ 2a2+a = 1 ⇒ 2a2+a-1 = 0
(2a-1)(a+1) = 0. 따라서 a = 1⁄2 또는 a = -1.
두 번째 부등식: 1⁄a ≠ 4a ⇒ 1 ≠ 4a2 ⇒ a2 ≠ 1⁄4 ⇒ a ≠ ±1⁄2.
두 조건을 모두 만족하는 것은 a = -1 입니다.
(a=-1일 때, (2(-1)+1)⁄1 = -1, 2⁄2(-1) = -1, 4(-1)⁄1 = -4. -1 = -1 ≠ -4 성립) - 일치할 조건: A⁄A’ = B⁄B’ = C⁄C’
위에서 a = 1⁄2일 때 (2a+1)⁄1 = 2, 2⁄2a = 2, 4a⁄1 = 2가 되어 모든 비가 2로 같아집니다.
따라서 a = 1⁄2 입니다. - 수직일 조건: AA’ + BB’ = 0
(2a+1)(1) + (2)(2a) = 0
2a + 1 + 4a = 0
6a + 1 = 0
따라서 a = –1⁄6 입니다.
일반형으로 주어진 직선의 위치 관계는 계수들의 비를 이용하여 판별하는 것이 편리해요! 각 조건의 의미를 정확히 이해하는 것이 중요합니다. 😉
오늘은 직선의 방정식이 일반형 ax+by+c=0으로 주어졌을 때, 두 직선의 위치 관계를 계수들의 비를 이용하여 판별하는 방법에 대해 배웠습니다. 평행, 일치, 한 점에서 만남, 그리고 수직 조건까지 모두 계수의 관계만으로 알 수 있었죠? 이 방법은 연립일차방정식의 해의 개수와도 연결되므로 함께 기억해두면 좋습니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 두 직선의 교점을 지나는 새로운 직선의 방정식에 대해 알아보겠습니다. 😮