• 직선의 방정식의 일반형: x, y에 대한 일차방정식 ax + by + c = 0 (단, a, b, c는 실수이고, a와 b가 동시에 0은 아니다. 즉, a \ne 0 또는 b \ne 0) 꼴로 나타내는 것을 직선의 방정식의 일반형이라고 해요.
• 일반형이 나타내는 도형:
  • a \ne 0 이고 b \ne 0 일 때: 기울기가 -a/b, y절편이 -c/b인 일반적인 직선. (y = –^a⁄_bx – ^c⁄_b)
  • a \ne 0 이고 b = 0 일 때: ax+c=0 ⇒ x = –^c⁄_a (y축에 평행한 직선).
  • a = 0 이고 b \ne 0 일 때: by+c=0 ⇒ y = –^c⁄_b (x축에 평행한 직선).

결국, a와 b 중 적어도 하나가 0이 아니면, ax+by+c=0은 항상 직선을 나타낸답니다!

개념정리 112-1: 모든 직선을 아우르는 형태!

우리가 지금까지 배운 다양한 형태의 직선의 방정식들(표준형 y=mx+n, x축/y축에 평행한 직선 y=b 또는 x=a 등)은 모두 x, y에 대한 일차방정식이었어요.

이 모든 x, y에 대한 일차방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다.

ax + by + c = 0

이때 a, b, c는 실수이고, “a와 b가 동시에 0은 아니다”라는 조건이 매우 중요해요. (즉, a²+b² \ne 0과 같은 의미). 만약 a=0이고 b=0이라면 c=0이라는 식이 되는데, 이것은 x, y값에 관계없이 항상 성립하거나 (만약 c=0이라면) 항상 모순이 되어 (만약 c \ne 0이라면) 직선을 나타내지 않기 때문이죠.

이렇게 ax+by+c=0 (단, a \ne 0 또는 b \ne 0) 꼴로 표현된 방정식을 직선의 방정식의 일반형이라고 부릅니다.

개념정리 112-2: a와 b가 0인지 아닌지에 따라 달라지는 모습!

일차방정식 ax+by+c=0이 나타내는 도형은 계수 a와 b의 값에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있어요.

1. a \ne 0 이고 b \ne 0 일 때

이 경우, 식을 y에 대해 정리하면 by = -ax – c ⇒ y = –^a⁄_bx – ^c⁄_b 가 됩니다.
이것은 기울기가 –^a⁄_b이고 y절편이 –^c⁄_b인 일반적인 직선 (표준형)을 나타냅니다.

2. a \ne 0 이고 b = 0 일 때

방정식은 ax + c = 0이 되고, x에 대해 정리하면 ax = -c ⇒ x = –^c⁄_a 가 됩니다.
이것은 y좌표에 관계없이 x좌표가 항상 –^c⁄_a로 일정한 직선, 즉 y축에 평행한 (x축에 수직인) 직선을 나타냅니다.

3. a = 0 이고 b \ne 0 일 때

방정식은 by + c = 0이 되고, y에 대해 정리하면 by = -c ⇒ y = –^c⁄_b 가 됩니다.
이것은 x좌표에 관계없이 y좌표가 항상 –^c⁄_b로 일정한 직선, 즉 x축에 평행한 (y축에 수직인) 직선을 나타냅니다.

결론적으로, a와 b 중 적어도 하나가 0이 아니라면 (a \ne 0 또는 b \ne 0), 방정식 ax+by+c=0은 항상 직선을 나타냅니다.