107 자취의 방정식 특강: 점들이 그리는 도형의 발자취! 👣
안녕하세요, 도형의 비밀을 추적하는 탐험가 친구들! 👋 수학 문제를 풀다 보면 “어떤 조건을 만족시키는 점 P가 그리는 도형은 무엇일까요?” 또는 “그 도형의 방정식을 구하시오.”와 같은 질문을 만날 때가 있어요. 이렇게 어떤 조건을 만족시키는 점들이 모여서 이루는 도형을 그 점의 자취라고 하고, 그 도형을 나타내는 방정식을 자취의 방정식이라고 한답니다. 오늘은 이 자취의 방정식을 어떻게 구하는지, 그 단계별 전략에 대해 알아볼 거예요. 마치 점들의 발자취를 따라가며 그들이 그린 그림을 완성하는 것과 같아요! 🗺️
📝 핵심만정리: 자취의 방정식, 이렇게 구해요!
주어진 조건을 만족시키는 점의 자취의 방정식을 구하는 일반적인 순서는 다음과 같아요.
- 좌표 설정: 구하려는 자취 위의 임의의 점 P의 좌표를 (x, y)로 놓아요. (만약 문제에서 다른 점 Q의 자취를 묻고, 점 P가 다른 조건과 연관되어 있다면, 점 P를 (a,b) 등으로 놓고, Q를 (x,y)로 놓아야 해요.)
- 주어진 조건 식으로 표현: 문제에서 주어진 조건을 이용하여 점 P의 좌표 x, y (또는 다른 관련 문자) 사이의 관계식을 만들어요.
- 관계식 정리 (x, y만의 식으로): 만약 2단계에서 x, y 이외의 다른 문자(매개변수)가 사용되었다면, 그 문자를 소거하여 x와 y 사이의 관계식만을 남겨요.
- 제한 범위 확인: x, y의 값에 특별한 제한 범위가 있는지 확인해요. (예: 도형의 일부만 해당될 경우)
- 자취 해석: 3단계와 4단계에서 얻은 x, y 사이의 관계식과 제한 범위가 바로 구하는 자취의 방정식이며, 이 방정식이 어떤 도형을 나타내는지 해석해요.
좌표가 이미 도입된 문제라면 1단계의 (좌표축 도입)과 5단계의 (자취 해석) 일부는 생략될 수 있어요.
🤔 자취란 무엇일까요? (점들이 그린 그림!)
개념정리 107-1: 조건을 만족하는 점들의 모임
수학에서 자취(locus)란, 주어진 일정한 조건을 만족시키는 모든 점들이 모여서 이루는 도형을 말해요. 마치 우리가 눈 위를 걸으면 발자국이 남듯이, 어떤 규칙(조건)을 따라 움직이는 점 P가 있다면 그 점 P가 그리는 모든 발자취가 하나의 도형을 이루게 되는 거죠.
그리고 이 도형을 방정식으로 표현한 것을 자취의 방정식이라고 합니다. 즉, 자취 위의 임의의 점 P(x,y)에 대하여, x와 y 사이의 조건을 x, y로 나타낸 식 f(x,y)=0이 바로 그 자취의 방정식이 되는 거예요.
자취의 예:
- 평면 위에서 한 정점 C로부터 거리가 r로 일정한 점 P의 자취는? → 중심이 C이고 반지름이 r인 원이죠!
- 평면 위에서 서로 다른 두 정점 A, B로부터 같은 거리에 있는 점 P의 자취는? → 선분 AB의 수직이등분선이 됩니다.
🛠️ 자취의 방정식 구하는 5단계 전략!
개념정리 107-2: 단계별로 차근차근!
주어진 조건을 만족시키는 점의 자취의 방정식을 구하는 과정은 다음 5단계로 나누어 생각할 수 있어요. (좌표축이 이미 설정된 경우가 많으므로, 교재의 1단계 ‘좌표축 도입’은 대부분 생략됩니다.)
- 1단계 (좌표 설정): 우리가 구하려는 자취 위의 임의의 점 P의 좌표를 (x, y)로 놓습니다. (만약 다른 점 Q의 자취를 묻고, P가 매개변수 역할을 한다면 P는 (a,b) 등으로, Q를 (x,y)로 놓습니다.)
- 2단계 (관계식 형성): 문제에서 주어진 조건을 이용하여 x, y (그리고 필요하다면 다른 매개변수 a,b 등) 사이의 관계식을 세웁니다. 이때, 두 점 사이의 거리 공식, 내분점/외분점 공식, 직선의 방정식 등 이미 배운 지식들이 총동원됩니다.
- 3단계 (식 정리): 만약 2단계에서 x, y 이외의 다른 매개변수(예: a,b)가 사용되었다면, 그 매개변수를 소거하여 x와 y만으로 이루어진 관계식을 만듭니다. 이것이 기본적인 자취의 방정식이 됩니다.
- 4단계 (제한 범위 확인): x나 y의 값에 특별한 제한 조건(예: x > 0 등)이 있는지, 또는 매개변수의 범위로 인해 x, y의 범위가 제한되는지 등을 확인하여 자취가 존재하는 범위를 명시합니다. (제외되는 점이 있는지, 도형의 일부만 해당되는지 등)
- 5단계 (자취 해석): 3, 4단계에서 얻은 x, y 사이의 관계식과 제한 범위가 나타내는 도형이 무엇인지 (직선, 원, 포물선 등) 해석하고 답합니다.
예시: 두 점 A(-2, 0), B(2, 0)으로부터 같은 거리에 있는 점 P의 자취의 방정식을 구해봅시다. (PDF 예시)
1단계 (좌표 설정): 점 P의 좌표를 (x, y)로 놓습니다.
2단계 (관계식 형성): 주어진 조건은 AP = BP 입니다. 양변을 제곱해도 같으므로 AP2 = BP2로 식을 세웁니다.
(x – (-2))2 + (y – 0)2 = (x – 2)2 + (y – 0)2
(x + 2)2 + y2 = (x – 2)2 + y2
3단계 (식 정리): 양변을 전개하여 정리합니다.
x2 + 4x + 4 + y2 = x2 – 4x + 4 + y2
양변에서 x2, y2, 4를 소거하면:
4x = -4x
8x = 0 ⇒ x = 0
4단계 (제한 범위 확인): x, y에 대한 특별한 제한 범위는 없어 보입니다.
5단계 (자취 해석): x=0이라는 방정식은 y축을 나타냅니다.
따라서 점 P의 자취는 y축 (또는 직선 x=0) 입니다. (실제로 두 점 A, B를 잇는 선분 AB의 수직이등분선이 됩니다. )
🧐 개념확인 (위 예제로 대체)
위에서 다룬 예시가 자취의 방정식을 구하는 기본적인 5단계 전략을 잘 보여주고 있어요. 가장 중요한 것은 구하려는 점의 좌표를 (x, y)로 설정하고, 주어진 조건을 이용하여 x와 y 사이의 관계식을 만들어내는 것입니다! 때로는 매개변수를 사용하여 관계를 연결한 후, 그 매개변수를 소거하는 과정이 필요할 수도 있답니다.
오늘은 어떤 조건을 만족하는 점들이 그리는 도형인 ‘자취’와 그 ‘자취의 방정식’을 구하는 일반적인 방법에 대해 배웠습니다. 구하려는 점을 (x,y)로 놓고 주어진 조건을 식으로 표현한 다음, x, y만의 관계식으로 정리하는 과정이 핵심이었죠? 자취 문제는 다양한 수학적 개념과 공식을 활용해야 하므로, 문제 해결 능력을 키우는 데 좋은 연습이 된답니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 직선의 방정식에 대해 본격적으로 알아보겠습니다. 📏