097 연립이차부등식 풀이: 각 부등식의 공통 해를 찾아라! 🧩
안녕하세요, 수학 퍼즐을 맞추는 친구들! 👋 연립일차부등식을 풀 때 각 부등식의 해를 구하고 공통 범위를 찾았던 것 기억하죠? 오늘은 그보다 한 단계 업그레이드된, 연립이차부등식을 푸는 방법에 대해 알아볼 거예요. 연립이차부등식은 연립부등식 중에서 차수가 가장 높은 부등식이 이차부등식인 경우를 말한답니다. 풀이 방법의 기본 원리는 연립일차부등식과 똑같아요! 각 부등식을 풀고, 그 해들의 공통부분을 찾는 것이 핵심이죠. 함께 그 방법을 자세히 살펴볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: 연립이차부등식, 이렇게 풀어요!
- 연립이차부등식: 연립부등식에서 차수가 가장 높은 부등식이 이차부등식인 경우.
(예: { (이차부등식)(일차부등식) 또는 { (이차부등식)(이차부등식) 꼴 ) - 풀이 방법: 연립일차부등식과 동일한 방법으로 풀어요.
- 연립부등식을 이루는 각각의 부등식(일차 또는 이차)을 푼다.
- 각 부등식에서 구한 해를 하나의 수직선 위에 함께 나타낸다.
- 수직선 위에서 공통으로 겹치는 부분을 찾아 연립부등식의 최종 해로 답한다.
- 공통부분이 없는 경우: 만약 각 부등식의 해의 공통부분이 없다면, 그 연립이차부등식의 해는 없다.
🤔 연립이차부등식이란 무엇일까요? (이차부등식이 포함된 묶음!)
개념정리 97-1: 이차부등식을 포함하는 연립부등식
우리가 연립부등식을 이야기할 때, 그 안에 포함된 부등식들의 차수에 따라 이름이 붙여질 수 있어요. 연립이차부등식은 그 이름에서 알 수 있듯이, 연립부등식을 구성하는 부등식 중에서 차수가 가장 높은 것이 이차부등식인 경우를 말합니다.
예를 들어, 다음과 같은 형태들이 연립이차부등식이에요.
- { x2 + x – 2 ≤ 0 (이차부등식)x + 1 < 3 (일차부등식)
- { x2 – 4 > 0 (이차부등식)x2 – 2x – 3 < 0 (이차부등식)
이러한 연립이차부등식의 해는 주어진 모든 부등식을 동시에 만족시키는 x의 값의 공통 범위를 의미합니다.
🛠️ 연립이차부등식 풀이 단계: 각개전투 후 공통점 찾기!
개념정리 97-2: 수직선 활용이 여전히 핵심!
연립이차부등식을 푸는 과정은 연립일차부등식을 풀 때와 근본적으로 같아요. 각 부등식을 따로따로 해결한 뒤, 그 해들의 공통 범위를 찾는 것이죠.
- 1단계: 각각의 부등식 풀기
연립부등식을 이루고 있는 각각의 부등식(일차부등식 또는 이차부등식)의 해를 구해요. 이차부등식의 경우, 앞에서 배운 판별식과 그래프를 이용한 풀이법 등을 활용합니다. - 2단계: 수직선 위에 각 해 나타내기
1단계에서 구한 각 부등식의 해를 하나의 수직선 위에 함께 나타내요. 각 해의 범위를 정확히 표시하고, 경계값이 포함되는지 여부를 명확히 구분합니다. - 3단계: 공통부분 찾아 답하기
수직선 위에 나타낸 여러 해의 범위 중에서 모든 범위가 공통으로 겹치는 부분을 찾아요. 이 공통부분이 바로 연립이차부등식의 최종 해가 됩니다. 만약 공통부분이 없다면 “해가 없다”고 답합니다.
예시: 연립부등식 { 3x – 5 > x – 2 ···①x2 – 4x – 5 ≤ 0 ···②을 풀어봅시다. (PDF Check 문제)
1. 각 부등식 풀기:
① 3x – 5 > x – 2
3x – x > -2 + 5
2x > 3 ⇒ x > 3⁄2
② x2 – 4x – 5 ≤ 0
좌변을 인수분해하면 (x-5)(x+1) ≤ 0.
이차함수 y=(x-5)(x+1)은 아래로 볼록하고 x축과 x=-1, x=5에서 만나므로, \le 0인 범위는 두 근 사이입니다.
따라서 -1 ≤ x ≤ 5
2. 수직선 위에 해 나타내기:
해 ①: x > 3⁄2
해 ②: -1 ≤ x ≤ 5
(수직선에 3⁄2(=1.5)보다 큰 영역과, -1을 포함하고 5를 포함하여 그 사이 영역을 표시합니다.)
3. 공통부분 찾기:
두 범위가 겹치는 부분은 3⁄2보다는 크고 5보다는 작거나 같은 구간입니다.
따라서 연립부등식의 해는 3⁄2 < x ≤ 5 입니다.
🧐 개념확인 (위 예제로 대체)
위에서 다룬 예시가 연립이차부등식을 푸는 전형적인 과정을 잘 보여주고 있어요. 각 부등식(일차든 이차든)을 정확히 풀고, 수직선을 이용하여 공통 범위를 실수 없이 찾는 연습이 중요합니다! 공통부분이 없는 경우 “해가 없다”고 답하는 것도 잊지 마세요!
오늘은 여러 부등식 중에서 적어도 하나가 이차부등식인 ‘연립이차부등식’을 푸는 방법에 대해 배웠습니다. 기본적인 해결 전략은 각 부등식의 해를 구한 다음, 수직선을 이용하여 모든 부등식을 동시에 만족시키는 공통 범위를 찾는 것이었죠? 이차부등식의 풀이 방법을 정확히 알고 있다면 연립이차부등식도 문제없이 해결할 수 있을 거예요. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차방정식의 실근의 부호에 대해 알아보겠습니다. 👍