094 이차부등식 풀이 (3): 그래프가 x축과 안 만날 때 해는? (D<0) 붕붕~🎈
안녕하세요, 부등식의 해를 찾는 탐험가 친구들! 👋 이차함수 그래프와 x축의 위치 관계에 따라 이차부등식의 해가 어떻게 달라지는지 계속해서 알아보고 있죠? 오늘은 그 마지막 경우, 바로 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않을 때 (즉, 이차방정식의 판별식 D < 0일 때) 이차부등식의 해가 어떻게 결정되는지 자세히 살펴볼 거예요. 이 경우, 그래프는 x축 위에 붕 떠 있거나 아래로 완전히 가라앉아 있기 때문에, 부등식의 해가 아주 특별하게 “모든 실수” 또는 “해가 없다”로 나타나게 된답니다! 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: D < 0 일 때 이차부등식 해법!
이차함수 y = ax2 + bx + c (a > 0 기준)의 그래프가 x축과 만나지 않을 때 (즉, 이차방정식 ax2+bx+c=0의 판별식 D < 0일 때), 이차식은 a(x-p)2+q (단, q>0) 꼴로 표현되며, 이차부등식의 해는 다음과 같아요.
- ax2 + bx + c > 0 (또는 a(x-p)2 + q > 0)의 해: 모든 실수
- ax2 + bx + c ≥ 0 (또는 a(x-p)2 + q ≥ 0)의 해: 모든 실수
- ax2 + bx + c < 0 (또는 a(x-p)2 + q < 0)의 해: 해가 없다.
- ax2 + bx + c ≤ 0 (또는 a(x-p)2 + q ≤ 0)의 해: 해가 없다.
만약 a < 0 (위로 볼록)이라면, 양변에 -1을 곱하여 x2의 계수를 양수로 만들고 부등호 방향을 바꾸어 위와 같은 원리를 적용하면 편리해요!
🤔 D < 0 일 때: 그래프는 x축과 왜 안 만날까요? (허근)
개념정리 94-1: 실근이 없다 = x축과 교점이 없다!
이차방정식 ax2 + bx + c = 0의 판별식 D = b2 – 4ac가 0보다 작을 때 (D < 0), 이 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖고, 실근은 존재하지 않는다고 배웠죠?
이것을 이차함수 y = ax2 + bx + c의 그래프 관점에서 보면, 그래프가 x축과 만나는 점이 하나도 없다는 것을 의미해요. 왜냐하면 x축과의 교점의 x좌표는 이차방정식의 실근인데, 실근이 없으니까요!
따라서 이 경우, 그래프는 다음과 같은 모습을 하게 됩니다:
- a > 0 (아래로 볼록)일 때: 그래프 전체가 x축보다 위에 떠 있는 모양이 됩니다. (꼭짓점의 y좌표 q가 양수)
- a < 0 (위로 볼록)일 때: 그래프 전체가 x축보다 아래에 가라앉아 있는 모양이 됩니다. (꼭짓점의 y좌표 q가 음수)
이처럼 그래프가 x축과 만나지 않고 항상 x축 위 또는 아래에 위치하기 때문에, 이차부등식의 해가 “모든 실수” 또는 “해가 없다”와 같이 극단적인 형태로 나타나게 된답니다.
🎈 그래프와 해의 관계: 항상 x축 위 또는 아래!
개념정리 94-2: a(x-p)2+q (단, q>0 또는 q<0) 꼴 생각하기
이차함수 y = ax2 + bx + c (a > 0으로 가정, 즉 아래로 볼록)의 그래프가 x축과 만나지 않을 때 (D < 0), 이 이차식은 a(x-p)2+q 꼴로 변형했을 때 꼭짓점의 y좌표 q가 항상 양수가 돼요. (q > 0)
여기서 a>0이고 (x-p)2 \ge 0이므로, a(x-p)2 \ge 0입니다. 여기에 양수인 q를 더했으니, a(x-p)2+q는 항상 양수가 됩니다 (최솟값이 q인데 q>0이므로).
이것을 바탕으로 각 부등식의 해를 결정하면 다음과 같습니다.
1. ax2 + bx + c > 0 (즉, a(x-p)2+q > 0인데 q>0)의 해
좌변은 항상 양수이므로, 이 부등식은 x의 값에 관계없이 항상 성립합니다.
해는 모든 실수 입니다.
2. ax2 + bx + c ≥ 0 (즉, a(x-p)2+q ≥ 0인데 q>0)의 해
좌변은 항상 양수이므로 (물론 0보다 크거나 같으므로), 이 부등식도 x의 값에 관계없이 항상 성립합니다.
해는 모든 실수 입니다.
3. ax2 + bx + c < 0 (즉, a(x-p)2+q < 0인데 q>0)의 해
좌변은 항상 양수인데, 이것이 0보다 작을 수는 없죠?
따라서 해는 없다 입니다.
4. ax2 + bx + c ≤ 0 (즉, a(x-p)2+q ≤ 0인데 q>0)의 해
좌변은 항상 양수이므로, 0보다 작거나 같을 수는 없습니다.
따라서 해는 없다 입니다.
a < 0일 때도 마찬가지! 🎈
만약 이차항의 계수 a < 0 (위로 볼록)이고 D < 0 (x축과 만나지 않음)이라면, 그래프는 항상 x축 아래에 있게 됩니다. 즉, ax2+bx+c의 값은 항상 음수가 되겠죠? 이 경우에도 위와 비슷한 논리로 각 부등식의 해를 판단할 수 있어요. (보통은 양변에 -1을 곱해 a>0으로 만들고 부등호 방향을 바꾸어 푸는 것이 편리합니다.)
🧐 개념확인 문제: 그래프가 안 만날 때 해 구하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 다음 이차부등식을 풀어봅시다!
다음 이차부등식을 푸시오. (PDF 문제)
- x2 + x + 1 > 0
- x2 – x + 1 < 0
정답 및 해설:
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x2 + x + 1 > 0
먼저 이차방정식 x2 + x + 1 = 0의 판별식 D를 구해보면,
D = 12 – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3 < 0 입니다.이차항의 계수가 1 (>0)이고 D < 0이므로, 함수 y=x2+x+1의 그래프는 x축 위에 붕 떠 있는 아래로 볼록한 포물선입니다. 즉, 모든 x에 대하여 x2+x+1의 값은 항상 양수입니다.
(표준형으로 바꾸면 y = (x + 1⁄2)2 + 3⁄4. 최솟값이 3⁄4 > 0이므로 항상 양수죠!)
따라서 부등식 x2 + x + 1 > 0의 해는 모든 실수 입니다.
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x2 – x + 1 < 0
이차방정식 x2 – x + 1 = 0의 판별식 D를 구해보면,
D = (-1)2 – 4(1)(1) = 1 – 4 = -3 < 0 입니다.이차항의 계수가 1 (>0)이고 D < 0이므로, 함수 y=x2-x+1의 그래프는 x축 위에 붕 떠 있는 아래로 볼록한 포물선입니다. 즉, 모든 x에 대하여 x2-x+1의 값은 항상 양수입니다.
(표준형으로 바꾸면 y = (x – 1⁄2)2 + 3⁄4. 최솟값이 3⁄4 > 0이므로 항상 양수죠!)
그런데 부등식은 x2 – x + 1 < 0 (0보다 작다)을 만족해야 합니다. 항상 양수인 값이 0보다 작을 수는 없겠죠?
따라서 해는 없다.
판별식 D의 부호와 이차항의 계수 a의 부호를 함께 고려하여 그래프의 개형을 떠올리면 해를 쉽게 판단할 수 있어요! 😉
오늘은 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않을 때 (즉, 판별식 D<0일 때) 이차부등식의 해가 “모든 실수” 또는 “해가 없다”와 같이 특별한 형태로 나타나는 경우를 배웠습니다. 이차식이 a(x-p)2+q (이때 a>0이면 q>0, a<0이면 q<0) 꼴로 표현되어 그 값이 항상 양수이거나 항상 음수가 되기 때문이었죠? 이로써 판별식 D의 부호에 따른 모든 경우의 이차부등식 풀이법을 마스터했습니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 해가 주어진 경우 이차부등식을 거꾸로 만들어보는 방법에 대해 알아보겠습니다. 🧩