이차함수 y = ax² + bx + c (a > 0 기준)의 그래프가 x축과 한 점 x=α에서 접할 때 (즉, 이차방정식 ax²+bx+c=0의 판별식 D = 0이고 중근 α를 가질 때), 이차식은 a(x-\alpha)² 꼴로 표현되며, 이차부등식의 해는 다음과 같아요.

• ax² + bx + c > 0 (또는 a(x-\alpha)² > 0)의 해: x ≠ α 인 모든 실수
• ax² + bx + c ≥ 0 (또는 a(x-\alpha)² ≥ 0)의 해: 모든 실수
• ax² + bx + c < 0 (또는 a(x-\alpha)² < 0)의 해: 해가 없다.
• ax² + bx + c ≤ 0 (또는 a(x-\alpha)² ≤ 0)의 해: 오직 x = α

만약 a < 0 (위로 볼록)이라면, 양변에 -1을 곱하여 x²의 계수를 양수로 만들고 부등호 방향을 바꾸어 위와 같은 원리를 적용하면 편리해요!

개념정리 93-1: 한 점에서 만난다 (접한다)!

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식 D = b² – 4ac가 0일 때 (D = 0), 이 이차방정식은 중근(서로 같은 두 실근, 즉 실근 1개)을 갖는다고 배웠죠?

이것을 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프 관점에서 보면, 그래프가 x축과 오직 한 점에서만 만난다는 것을 의미해요. 이 상태를 그래프가 x축에 접한다고 표현하며, 그 접점의 x좌표가 바로 중근 α가 됩니다.

이 경우, 이차식 ax² + bx + c는 a(x-\alpha)² 꼴의 완전제곱식으로 항상 인수분해됩니다.

이 완전제곱식의 형태 a(x-\alpha)²는 (실수)² \ge 0이라는 성질 때문에 부등식의 해를 판별하는 데 매우 중요한 역할을 한답니다.

개념정리 93-2: a(x-\alpha)²의 부호 생각하기

이차함수 y = ax² + bx + c (a > 0으로 가정, 즉 아래로 볼록)가 x축과 x=α에서 접할 때, 이차식은 a(x-\alpha)² 꼴로 표현돼요. 여기서 a>0이고 (x-\alpha)² \ge 0이므로, a(x-\alpha)²의 부호는 다음과 같이 생각할 수 있어요.

• x = α 일 때: (x-\alpha)² = 0이므로, a(x-\alpha)² = 0 입니다.
• x ≠ α 일 때: (x-\alpha)² > 0이므로 (실수의 제곱은 0 이상인데, x \ne \alpha이므로 0이 아님), a(x-\alpha)² > 0 입니다. (a>0이므로)

이것을 바탕으로 각 부등식의 해를 결정하면 다음과 같습니다.

1. ax² + bx + c > 0 (즉, a(x-\alpha)² > 0)의 해

그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분입니다. x=α일 때만 0이 되고, 그 외의 모든 실수 x에 대해서는 양수이므로,

해는 x ≠ α 인 모든 실수 입니다.

2. ax² + bx + c ≥ 0 (즉, a(x-\alpha)² ≥ 0)의 해

그래프가 x축보다 위쪽에 있거나 x축과 만나는 부분입니다. a(x-\alpha)²은 항상 0 이상이므로,

해는 모든 실수 입니다.

3. ax² + bx + c < 0 (즉, a(x-\alpha)² < 0)의 해

그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 부분입니다. a(x-\alpha)²은 항상 0 이상이므로 0보다 작을 수는 없어요.

따라서 해는 없다 입니다.

4. ax² + bx + c ≤ 0 (즉, a(x-\alpha)² ≤ 0)의 해

그래프가 x축보다 아래쪽에 있거나 x축과 만나는 부분입니다. a(x-\alpha)²은 항상 0 이상이므로, 0보다 작을 수는 없고 오직 a(x-\alpha)²=0이 되는 경우만 가능해요. 이는 x=\alpha;일 때입니다.

따라서 해는 오직 x = α 입니다.